Considere o sistema
c x+6 y-8 z=1 2 x+6 y-4 z=0
d) Resolva o sistema homogêneo associado ao sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares homogêneo, que significa que todas as constantes independentes (os números sem as variáveis) são zero. O sistema que vamos resolver é:
c x + 6 y -8 z =0 2x + 6 y -4 z=0
Aqui, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as duas equações para facilitar a visualização:
A ideia é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema. Vamos tentar eliminar o .

Passo 3

Para eliminar o c 2x + 12y -16z =0 2x + 6y -4z =0 , podemos multiplicar a primeira equação por 2, assim teremos o coeficiente de igual nas duas equações:
Agora, temos:

Passo 4

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o (2x + 12y -16z) - (2x + 6y -4z) = 0 - 0 0x + 6y -12z = 0 :
6y -12z = 0
Simplificando, ficamos com:

Passo 5

Agora, podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
y - 2z = 0 Rightarrow y = 2z
Isso nos mostra que é o dobro de . Como não temos mais equações para relacionar , vamos expressar em função de .

Passo 6

Vamos usar a primeira equação original para encontrar x + 6y -8z =0 :
x + 6(2z) -8z =0 x +12z -8z =0 x +4z =0 Rightarrow x = -4z
Sabemos que , então substituímos:

Passo 7

Agora, temos x = -4t y = 2t z = t e . Como o sistema é homogêneo, pode ser qualquer número real. Geralmente, definimos , onde é um parâmetro livre.
Então, as soluções são:

Resposta

As soluções do sistema homogêneo são todos os vetores da forma , onde é um número real qualquer.

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