Considere o sistema
d) Resolva o sistema homogêneo associado ao sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares homogêneo, que significa que todas as constantes independentes (os números sem as variáveis) são zero. O sistema que vamos resolver é:
Aqui, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as duas equações para facilitar a visualização:
A ideia é eliminar uma das variáveis para reduzir o sistema. Vamos tentar eliminar o
.
Passo 3
Para eliminar o
, podemos multiplicar a primeira equação por 2, assim teremos o coeficiente de
igual nas duas equações:
-
→ -
Agora, temos:
Passo 4
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar o
:
Simplificando, ficamos com:
Passo 5
Agora, podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 6:
Isso nos mostra que
é o dobro de
. Como não temos mais equações para relacionar
, vamos expressar
em função de
.
Passo 6
Vamos usar a primeira equação original para encontrar
:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 7
Agora, temos
e
. Como o sistema é homogêneo,
pode ser qualquer número real. Geralmente, definimos
, onde
é um parâmetro livre.
Então, as soluções são:
Resposta
As soluções do sistema homogêneo são todos os vetores da forma
, onde
é um número real qualquer.