Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
l x - 2y + z = 1 2x + y = 3 y - 5z = 4
Vamos resolver esse sistema usando a Regra de Cramer, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares usando determinantes. Para isso, precisamos lembrar que a Regra de Cramer só funciona quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Isso significa pegar os coeficientes de cada variável nas equações:
A = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & -5
A matriz representa os coeficientes de , e .
Passo 3
Agora, calculamos o determinante da matriz De, que vamos chamar de De. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única.
1 & 0 1 & -5 = (1)(-5) - (0)(1) = -5
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores:
2 & 0 0 & -5 = (2)(-5) - (0)(0) = -10
Calculando cada menor:
2 & 1 0 & 1 = (2)(1) - (1)(0) = 2
De
Substituindo de volta:
Como , o sistema possui uma solução única.
Passo 4
Para encontrar B = 1 3 4 , De e De, vamos criar matrizes = 1(-5) - (-2)(-15) + 1(-1) = -5 - 30 -1 = -36 , De e De, substituindo a coluna correspondente pela coluna dos termos constantes.
Os termos constantes do sistema são:
= 1(-15) - 1(-10) + 1(8) = -15 +10 +8 = 3
Matriz De: substituímos a primeira coluna de De por = 1(4 - 3) - (-2)(8 - 0) + 1(2 - 0) = 1(1) + 2(8) + 2 = 1 + 16 + 2 = 19 :
Calculando :
Matriz : substituímos a segunda coluna de por :
Calculando :
Matriz : substituímos a terceira coluna de por :
Calculando :
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as soluções: