Dado o sistema
Simulado Avaliação I - Álgebra Linear
c 3 x+5 y=1 2 x+z=3 5 x+y-z=0
b) Use o método de Gauss para resolver o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o método de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema até encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos manipular as equações usando operações de linha até obtermos uma forma triangular, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada para facilitar a visualização:
3 & 5 & 0 & | & 1 2 & 0 & 1 & | & 3 5 & 1 & -1 & | & 0
Aqui, cada linha representa uma equação, e as colunas correspondem aos coeficientes de , , e o termo independente.

Passo 3

Vamos começar eliminando Equação 1 modificada: 2x + 103y = 23 das equações 2 e 3. Para isso, podemos usar a primeira equação como referência.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por (2x + z) - (2x + 103y) = 3 - 23 para que o coeficiente de z - 103y = 73 na equação 1 se torne igual ao coeficiente de z = 103y + 73 na equação 2:
çã
Agora, subtraímos essa equação da equação 2 para eliminar :

Passo 4

Agora, vamos eliminar Equação 1 modificada: 5x + 253y = 53 da equação 3 usando a equação 1 original. Multiplicamos a primeira equação por (5x + y - z) - (5x + 253y) = 0 - 53 para igualar os coeficientes de y - 253y - z = -53 :
-223y - z = -53 çã
Subtraímos essa equação da equação 3:

Passo 5

Agora temos duas equações com -223y - (103y + 73) = -53 e -223y - 103y - 73 = -53 :
  1. -323y = 23
  2. y = 23 div -323 = -232 = -116
Vamos substituir da primeira na segunda:

Passo 6

Com o valor de z = 103 (-116) + 73 = -1048 + 73 encontrado, vamos calcular z = -524 + 5624 = 5124 = 178 usando a equação :

Passo 7

Agora que temos 2x + 178 = 3 e 2x = 3 - 178 = 248 - 178 = 78 , vamos encontrar x = 78 div 2 = 716 usando a segunda equação original: .

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 716, y = -116, z = 178

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