Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
(a) e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa por um ponto específico e também contém uma reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e retas no espaço.
Passo 2
A reta é definida como a interseção de dois planos:
Isso significa que qualquer ponto na reta satisfaz as duas equações acima.
Passo 3
Para encontrar o vetor diretor da reta , calculamos o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar para .
Passo 4
Agora, queremos encontrar a equação do plano que passa pelo ponto e contém a reta . Sabemos que esse plano deve conter o vetor diretor da reta e também o vetor que liga o ponto a qualquer ponto da reta .
Vamos supor que seja um ponto na reta . Então, o vetor estará no plano que queremos encontrar.
Passo 5
A equação geral de um plano pode ser escrita como:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
onde n = n1 + lambda n2 = (1, 2, 1) + lambda (2, 1, -1) é o vetor normal ao plano e n = (1 + 2lambda, 2 + lambda, 1 - lambda) é um ponto conhecido no plano.
Como o plano contém a reta , o vetor normal do plano será uma combinação linear dos vetores normais dos planos que definem :
Passo 6
Para determinar o valor de (1 + 2lambda)(3) + (2 + lambda)(-2) + (1 - lambda)(-1) - d = 0 , usamos o fato de que o ponto está no plano:
Como pode ser encontrado substituindo o ponto na equação do plano, resolvemos para .
Após resolver a equação, obtemos .
Passo 7
Substituindo n = (1 + 2 cdot 1, 2 + 1, 1 - 1) = (3, 3, 0) na expressão do vetor normal: