Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
(a) A(3,-2,-1) e r:lx+2 y+z-1=0 2 x+y-z+7=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que passa por um ponto específico e também contém uma reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de planos e retas no espaço.

Passo 2

A reta x + 2y + z - 1 = 0 (Plano 1) 2x + y - z + 7 = 0 (Plano 2) é definida como a interseção de dois planos:
Isso significa que qualquer ponto na reta satisfaz as duas equações acima.

Passo 3

Para encontrar o vetor diretor da reta n1 = (1, 2, 1) e n2 = (2, 1, -1) , calculamos o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos. Os vetores normais são:
d = n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & 1 2 & 1 & -1 = i(2 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) + k(1 cdot 1 - 2 cdot 2)
Calculando o produto vetorial:
d = i(-2 -1) - j(-1 -2) + k(1 -4) = (-3, 3, -3)
Podemos simplificar para .

Passo 4

Agora, queremos encontrar a equação do plano que passa pelo ponto e contém a reta . Sabemos que esse plano deve conter o vetor diretor da reta e também o vetor que liga o ponto a qualquer ponto da reta .
Vamos supor que seja um ponto na reta . Então, o vetor estará no plano que queremos encontrar.

Passo 5

A equação geral de um plano pode ser escrita como:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
onde n = n1 + lambda n2 = (1, 2, 1) + lambda (2, 1, -1) é o vetor normal ao plano e n = (1 + 2lambda, 2 + lambda, 1 - lambda) é um ponto conhecido no plano.
Como o plano contém a reta , o vetor normal do plano será uma combinação linear dos vetores normais dos planos que definem :

Passo 6

Para determinar o valor de (1 + 2lambda)(3) + (2 + lambda)(-2) + (1 - lambda)(-1) - d = 0 , usamos o fato de que o ponto está no plano:
Como pode ser encontrado substituindo o ponto na equação do plano, resolvemos para .
Após resolver a equação, obtemos .

Passo 7

Substituindo n = (1 + 2 cdot 1, 2 + 1, 1 - 1) = (3, 3, 0) na expressão do vetor normal:
3(x - 3) + 3(y + 2) + 0(z + 1) = 0
Então, a equação do plano é:
3x + 3y - 9 + 6 = 0 Rightarrow 3x + 3y - 3 = 0
Simplificando:
x + y - 1 = 0
Dividindo por 3:

Resposta

A equação geral do plano é .

Exercícios relacionados