Considere o sistema ca x+y=a^2 x+a y=1. Para quais valores de a o sistema é inconsistente? Para quais valores de a o sistema admite uma única solução? Para quais valores de a o sistema admite múltiplas soluções?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. A gente tem:
a x + y = a^2 x + a y = 1
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que são conjuntos de equações que a gente resolve para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver, vamos precisar usar a regra de Cramer ou calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Isso vai nos ajudar a descobrir quando o sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz:

[
a & 1 1 & a x y = a^2 1


]
Para resolver, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. O determinante nos diz se o sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 3

Calculando o determinante ( De) da matriz dos coeficientes:
Agora, vamos analisar os valores de :
  • Se , o sistema tem uma única solução.
  • Se , o sistema pode ser inconsistente (nenhuma solução) ou ter infinitas soluções.

Passo 4

Vamos encontrar quando a^2 - 1 = 0 a^2 = 1 a = pm 1 :
Então, para e , o determinante é zero, e precisamos analisar separadamente.

Passo 5

Caso 1: 1 cdot x + y = 1 x + 1 cdot y = 1 e x + y = 1 x + y = 1
Aqui, -1 cdot x + y = 1 x -1 cdot y = 1 , então o sistema tem uma única solução. Podemos resolver usando a regra de Cramer ou métodos de substituição.
Caso 2: -y + y = 1 x - y = 1 Rightarrow 0 = 1 x - y = 1
Substituindo no sistema:
Simplificando:
As duas equações são iguais, então temos infinitas soluções.
Caso 3:
Substituindo no sistema:
Simplificando:
A primeira equação é impossível, então o sistema é inconsistente.

Resposta

  • Sistema inconsistente:
  • Sistema com única solução: e
  • Sistema com múltiplas soluções:

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