Considere o sistema
. Para quais valores de
o sistema é inconsistente? Para quais valores de
o sistema admite uma única solução? Para quais valores de
o sistema admite múltiplas soluções?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. A gente tem:
Aqui, estamos trabalhando com sistemas lineares, que são conjuntos de equações que a gente resolve para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver, vamos precisar usar a regra de Cramer ou calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Isso vai nos ajudar a descobrir quando o sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz:
[
]
Para resolver, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. O determinante nos diz se o sistema tem uma única solução, nenhuma ou infinitas soluções.
Passo 3
Calculando o determinante (
) da matriz dos coeficientes:
Agora, vamos analisar os valores de
:
- Se
, o sistema tem uma única solução. - Se
, o sistema pode ser inconsistente (nenhuma solução) ou ter infinitas soluções.
Passo 4
Vamos encontrar quando
:
Então, para
e
, o determinante é zero, e precisamos analisar separadamente.
Passo 5
Caso 1:
e
Aqui,
, então o sistema tem uma única solução. Podemos resolver usando a regra de Cramer ou métodos de substituição.
Caso 2:
Substituindo
no sistema:
Simplificando:
As duas equações são iguais, então temos infinitas soluções.
Caso 3:
Substituindo
no sistema:
Simplificando:
A primeira equação
é impossível, então o sistema é inconsistente.
Resposta
- Sistema inconsistente:
- Sistema com única solução:
e - Sistema com múltiplas soluções: