Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (3 u+4 v) cdot(-2 u-5 v)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, com magnitudes |u| = 2 e |v| = 3. Sabemos também que o produto escalar entre eles é u cdot v = -1. Precisamos calcular o produto escalar da combinação linear desses vetores: (3 u + 4 v) cdot (-2 u - 5 v). Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e conhecer as magnitudes dos vetores.

Passo 2

Lembrando que o produto escalar entre dois vetores a e b é distributivo, ou seja, (a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c. Vamos aplicar essa propriedade na expressão que precisamos calcular:
(3 u + 4 v) cdot (-2 u - 5 v)

Passo 3

Vamos expandir o produto escalar usando a distributividade:
3 u cdot (-2 u) + 3 u cdot (-5 v) + 4 v cdot (-2 u) + 4 v cdot (-5 v)

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo separadamente:
  1. 3 u cdot (-2 u) = 3 times (-2) times (u cdot u)
  2. 3 u cdot (-5 v) = 3 times (-5) times (u cdot v)
  3. 4 v cdot (-2 u) = 4 times (-2) times (v cdot u)
  4. 4 v cdot (-5 v) = 4 times (-5) times (v cdot v)

Passo 5

Sabemos que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2. Também, v cdot u = u cdot v = -1. Vamos substituir esses valores:
  1. 3 times (-2) times (2)^2 = 3 times (-2) times 4 = -24
  2. 3 times (-5) times (-1) = 15
  3. 4 times (-2) times (-1) = 8
  4. 4 times (-5) times (3)^2 = 4 times (-5) times 9 = -180

Passo 6

Agora, somamos todos os resultados:
-24 + 15 + 8 - 180

Resposta

O valor de (3 u+4 v) cdot(-2 u-5 v) é boxed-181.

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