Considere um sistema de coordenadas
e y no plano. Sejam
e
as coordenadas do ponto
no novo sistema de coordenadas que tem origem em
e eixos coordenados dados pelas retas orientadas na direção e sentido dos vetores unitários
e
. Determine as coordenadas de Q no sistema de coordenadas original (
e y).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um ponto
com coordenadas
em um novo sistema de coordenadas. Esse novo sistema tem origem em
e seus eixos são definidos pelos vetores unitários
e
. Nosso objetivo é descobrir quais são as coordenadas de
no sistema de coordenadas original
.
Aqui, estamos lidando com transformação de coordenadas, especificamente com a rotação de eixos usando vetores unitários. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e matrizes de transformação, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, entendamos que os vetores
e
definem as direções dos novos eixos
e
em relação ao sistema original
. Para encontrar as coordenadas originais
do ponto
, podemos expressar
como uma combinação linear desses vetores unitários:
Aqui, estamos basicamente reconstruindo a posição de
no sistema original a partir de suas coordenadas no novo sistema.
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos:
Agora, vamos realizar as multiplicações escalares:
Passo 4
Em seguida, somamos os componentes correspondentes dos vetores:
Passo 5
Para simplificar as frações com raízes no denominador, vamos racionalizar:
Resposta
As coordenadas de
no sistema de coordenadas original
são: