Considere um sistema de coordenadas x e y no plano. Sejam x^prime=2 e y^prime=1 as coordenadas do ponto Q no novo sistema de coordenadas que tem origem em O=(0,0) e eixos coordenados dados pelas retas orientadas na direção e sentido dos vetores unitários U1=(-1 / raiz2, 1 / raiz2) e U2=(1 / raiz2, 1 / raiz2). Determine as coordenadas de Q no sistema de coordenadas original ( x e y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto com coordenadas em um novo sistema de coordenadas. Esse novo sistema tem origem em e seus eixos são definidos pelos vetores unitários e . Nosso objetivo é descobrir quais são as coordenadas de no sistema de coordenadas original .
Aqui, estamos lidando com transformação de coordenadas, especificamente com a rotação de eixos usando vetores unitários. Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como combinação linear de vetores e matrizes de transformação, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, entendamos que os vetores Q = x' cdot U1 + y' cdot U2 e definem as direções dos novos eixos e em relação ao sistema original . Para encontrar as coordenadas originais do ponto , podemos expressar como uma combinação linear desses vetores unitários:
Aqui, estamos basicamente reconstruindo a posição de no sistema original a partir de suas coordenadas no novo sistema.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos:
Q = 2 cdot (-1raiz2, 1raiz2) + 1 cdot (1raiz2, 1raiz2)
Agora, vamos realizar as multiplicações escalares:
Q = (-2raiz2, 2raiz2) + (1raiz2, 1raiz2)

Passo 4

Em seguida, somamos os componentes correspondentes dos vetores:
x = -2raiz2 + 1raiz2 = -1raiz2
y = 2raiz2 + 1raiz2 = 3raiz2

Passo 5

Para simplificar as frações com raízes no denominador, vamos racionalizar:
x = -1raiz2 cdot raiz2raiz2 = -raiz22
y = 3raiz2 cdot raiz2raiz2 = 3raiz22

Resposta

As coordenadas de boxed( -raiz22, 3raiz22 ) no sistema de coordenadas original são:

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