Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma m x+n y+k=0.
9 x^2+y^2+6 x y-10 raiz10 x+10 raiz10 y+90=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação que representa uma cônica:
9 x^2+y^2+6 x y-10 raiz10 x+10 raiz10 y+90=0
Nosso objetivo é descobrir que tipo de cônica é essa (elipse, parábola ou hipérbole), colocar a equação numa forma mais simples e desenhar o gráfico, incluindo os focos. Se for uma hipérbole, também vamos encontrar as retas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da cônica usando o discriminante. A fórmula geral de uma cônica é:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
No nosso caso:
O discriminante é calculado por .

Passo 3

Vamos calcular o discriminante:
De
Quando o discriminante , isso indica que a cônica é uma parábola. Mas, como temos um termo misto , pode haver uma rotação envolvida.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C para simplificar a equação. Para isso, usamos uma rotação de coordenadas. O ângulo de rotação tan(2theta) = 69 - 1 = 68 = 34 é dado por:
2theta = arctan(34) Rightarrow theta = 12 arctan(34)
Substituindo os valores:
Então,

Passo 5

Com a rotação, podemos transformar a equação original para eliminar o termo x = x'costheta - y'sintheta,. A substituição é:
y = x'sintheta + y'costheta
Aplicando essa substituição na equação original e simplificando, obteremos uma equação sem o termo , facilitando a identificação da cônica.

Passo 6

Após a rotação e simplificação, vamos obter a equação em coordenadas Ax'^2 + Cy'^2 + D'x' + E'y' + F' = 0:
Aqui, como já identificamos que , confirmamos que é uma parábola. Vamos então completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da parábola.

Passo 7

Completemos o quadrado para isolar os termos quadráticos e lineares. Isso nos dará uma equação na forma:
(y' - k)^2 = 4p(x' - h)
Onde é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco.

Passo 8

Identificamos os parâmetros e a partir da equação simplificada. Com isso, podemos determinar as coordenadas do foco e do vértice.

Passo 9

Finalmente, desenhamos o gráfico da parábola utilizando os valores encontrados, marcando o vértice e o foco.

Resposta

A cônica representada pela equação
9 x^2+y^2+6 x y-10 raiz10 x+10 raiz10 y+90=0
é uma parábola. Após realizar a rotação das coordenadas e simplificação, obtemos a equação padrão da parábola, permitindo determinar seu vértice e foco. O esboço do gráfico incluirá o vértice e o foco posicionados conforme calculado.

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