Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação que representa uma cônica:
Nosso objetivo é descobrir que tipo de cônica é essa (elipse, parábola ou hipérbole), colocar a equação numa forma mais simples e desenhar o gráfico, incluindo os focos. Se for uma hipérbole, também vamos encontrar as retas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da cônica usando o discriminante. A fórmula geral de uma cônica é:
No nosso caso:
O discriminante é calculado por
.
Passo 3
Vamos calcular o discriminante:
Quando o discriminante
, isso indica que a cônica é uma parábola. Mas, como temos um termo misto
, pode haver uma rotação envolvida.
Passo 4
Agora, vamos eliminar o termo
para simplificar a equação. Para isso, usamos uma rotação de coordenadas. O ângulo de rotação
é dado por:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 5
Com a rotação, podemos transformar a equação original para eliminar o termo
. A substituição é:
Aplicando essa substituição na equação original e simplificando, obteremos uma equação sem o termo
, facilitando a identificação da cônica.
Passo 6
Após a rotação e simplificação, vamos obter a equação em coordenadas
:
Aqui, como já identificamos que
, confirmamos que é uma parábola. Vamos então completar o quadrado para colocar a equação na forma padrão da parábola.
Passo 7
Completemos o quadrado para isolar os termos quadráticos e lineares. Isso nos dará uma equação na forma:
Onde
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco.
Passo 8
Identificamos os parâmetros
e
a partir da equação simplificada. Com isso, podemos determinar as coordenadas do foco e do vértice.
Passo 9
Finalmente, desenhamos o gráfico da parábola utilizando os valores encontrados, marcando o vértice e o foco.
Resposta
A cônica representada pela equação
é uma parábola. Após realizar a rotação das coordenadas e simplificação, obtemos a equação padrão da parábola, permitindo determinar seu vértice e foco. O esboço do gráfico incluirá o vértice e o foco posicionados conforme calculado.