Determine qual é a rotação do plano em que as coordenadas de ponto (raiz3, 1) são x^prime=raiz3 e y^prime=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir qual foi a rotação que fez o ponto virar . Isso envolve um pouco de trigonometria, especificamente a rotação de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de rotação de um ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a rotação de um ponto x' = x cos theta + y sin theta y' = -x sin theta + y cos theta em torno da origem por um ângulo . As novas coordenadas após a rotação são dadas por:

Passo 3

No nosso caso, sabemos que o ponto original raiz3 = raiz3 cos theta + 1 sin theta -1 = -raiz3 sin theta + 1 cos theta é e após a rotação ele fica . Vamos substituir esses valores nas equações de rotação:

Passo 4

Vamos simplificar a primeira equação:
raiz3 = raiz3 cos theta + sin theta Rightarrow raiz3 cos theta + sin theta = raiz3
E a segunda equação:
-1 = -raiz3 sin theta + cos theta Rightarrow -raiz3 sin theta + cos theta = -1

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( raiz3 (raiz3 cos theta + sin theta) = raiz3 cdot raiz3 3 cos theta + raiz3 sin theta = 3 e 3 cos theta + raiz3 sin theta = 3 -raiz3 sin theta + cos theta = -1 ). Vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição ou adição. Vamos tentar multiplicar a primeira equação por para facilitar:
Agora, temos:

Passo 6

Vamos somar as duas equações para eliminar (3 cos theta + raiz3 sin theta) + (-raiz3 sin theta + cos theta) = 3 + (-1) 4 cos theta = 2 cos theta = 24 = 12 :

Passo 7

Agora que encontramos , lembramos que o cosseno de ou é . Mas precisamos verificar o seno correspondente para ter certeza do ângulo certo.

Passo 8

Vamos substituir raiz3 (12) + sin theta = raiz3 raiz32 + sin theta = raiz3 sin theta = raiz3 - raiz32 = raiz32 na primeira equação original para encontrar :

Passo 9

Então, temos e . Isso corresponde ao ângulo ou radianos.

Resposta

A rotação do plano é de (ou radianos).

Exercícios relacionados