Determine qual é a rotação do plano em que as coordenadas de ponto
são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir qual foi a rotação que fez o ponto
virar
. Isso envolve um pouco de trigonometria, especificamente a rotação de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de rotação de um ponto no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona a rotação de um ponto
em torno da origem por um ângulo
. As novas coordenadas
após a rotação são dadas por:
Passo 3
No nosso caso, sabemos que o ponto original
é
e após a rotação ele fica
. Vamos substituir esses valores nas equações de rotação:
Passo 4
Vamos simplificar a primeira equação:
E a segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema. Podemos usar métodos como substituição ou adição. Vamos tentar multiplicar a primeira equação por
para facilitar:
Agora, temos:
Passo 6
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 7
Agora que encontramos
, lembramos que o cosseno de
ou
é
. Mas precisamos verificar o seno correspondente para ter certeza do ângulo certo.
Passo 8
Vamos substituir
na primeira equação original para encontrar
:
Passo 9
Então, temos
e
. Isso corresponde ao ângulo
ou
radianos.
Resposta
A rotação do plano é de
(ou
radianos).