Considere um sistema cuja energia potencial U(x) em função da posição x é dada pela seguinte expressão:
U(x)=x^4-4 x^2+3
(a) Determine os pontos de equilíbrio do sistema. (b) Classifique os pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis. © Esboce o gráfico da energia potencial U(x) versus posição x.
Dica: Para o esboço do gráfico, considere valores de x entre -3 e 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função de energia potencial que descreve um sistema físico. Nosso objetivo é:
a) Encontrar os pontos de equilíbrio do sistema.
b) Determinar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis.
c) Fazer um esboço do gráfico de em função de , considerando valores de entre -3 e 3.
Para isso, vamos precisar de conceitos básicos de derivadas e análise de estabilidade em física.

Passo 2

a) Determinar os pontos de equilíbrio do sistema.
Pontos de equilíbrio são posições onde a força resultante no sistema é zero. Em termos de energia potencial, isso significa que a derivada da energia potencial em relação a dUdx = 0 é igual a zero:
U(x) = x^4 - 4x^2 + 3
Vamos calcular a derivada de dUdx = 4x^3 - 8x :
4x^3 - 8x = 0
4x(x^2 - 2) = 0
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de equilíbrio:
x = 0 ou x^2 - 2 = 0 Rightarrow x = raiz2 approx 1,414 ou x = -raiz2 approx -1,414
Então, temos três soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são , e .

Passo 3

b) Classificar os pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis.
Para determinar se um ponto de equilíbrio é estável ou instável, analisamos a segunda derivada da energia potencial:
d^2Udx^2
Se a segunda derivada for positiva no ponto de equilíbrio, o ponto é estável (mínimo de energia). Se for negativa, é instável (máximo de energia).
Vamos calcular a segunda derivada de dUdx = 4x^3 - 8x :
d^2Udx^2 = 12x^2 - 8
d^2Udx^2|x=0 = 12(0)^2 - 8 = -8
Agora, avaliamos essa segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
  1. Para d^2Udx^2|x=raiz2 = 12(raiz2)^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16 :
d^2Udx^2|x=-raiz2 = 12(-raiz2)^2 - 8 = 12(2) - 8 = 24 - 8 = 16
Como é negativo, é um ponto de equilíbrio instável.
  1. Para :
Como é positivo, é um ponto de equilíbrio estável.
  1. Para :
Também é positivo, então é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

c) Esboçar o gráfico da energia potencial versus posição .
Para fazer o esboço, vamos analisar a função no intervalo de entre -3 e 3.
  1. Pontos de equilíbrio e valores chave:
    • :
    • :
    • : idem,
  2. Comportamento nos extremos:
    • Quando aumenta muito, o termo domina, e tende a .
  3. Forma do gráfico:
    • O gráfico tem dois “vales” nos pontos e onde (pontos estáveis).
    • Há um “topo” no ponto onde (ponto instável).
    • A curva é simétrica em relação ao eixo porque é uma função par (apenas potências pares de ).
  4. Esboço:
    • Plotamos os pontos-chave e desenhamos uma curva que desce dos extremos para os vales nos pontos de equilíbrio estáveis e sobe para o topo no ponto instável.
Aqui está um esboço simplificado:
U(x)
 |
4 |           *
3 |-----*-----|-----*-----
2 |           |
1 |           |
0 |           |
-1|     *     |
-2|           |
-3|           |
   -3  -2 -1 0 1 2 3    x
Os asteriscos (*) representam os pontos de equilíbrio:
  • (*) no topo ( )
  • (*) nos vales ( )

Resposta

a) Os pontos de equilíbrio são , e .
b) O ponto é instável, enquanto e são estáveis.
c) O gráfico de versus apresenta dois vales nos pontos e um topo no ponto , com a curva tendendo ao infinito positivo nos extremos de .

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