Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma função de energia potencial que descreve um sistema físico. Nosso objetivo é:
a) Encontrar os pontos de equilíbrio do sistema.
b) Determinar se esses pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis.
c) Fazer um esboço do gráfico de em função de , considerando valores de entre -3 e 3.
Para isso, vamos precisar de conceitos básicos de derivadas e análise de estabilidade em física.
Passo 2
a) Determinar os pontos de equilíbrio do sistema.
Pontos de equilíbrio são posições onde a força resultante no sistema é zero. Em termos de energia potencial, isso significa que a derivada da energia potencial em relação a é igual a zero:
Vamos calcular a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos de equilíbrio:
Então, temos três soluções:
Portanto, os pontos de equilíbrio são , e .
Passo 3
b) Classificar os pontos de equilíbrio como estáveis ou instáveis.
Para determinar se um ponto de equilíbrio é estável ou instável, analisamos a segunda derivada da energia potencial:
Se a segunda derivada for positiva no ponto de equilíbrio, o ponto é estável (mínimo de energia). Se for negativa, é instável (máximo de energia).
Vamos calcular a segunda derivada de :
Agora, avaliamos essa segunda derivada nos pontos de equilíbrio:
Para :
Como é negativo, é um ponto de equilíbrio instável.
Para :
Como é positivo, é um ponto de equilíbrio estável.
Para :
Também é positivo, então é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 4
c) Esboçar o gráfico da energia potencial versus posição .
Para fazer o esboço, vamos analisar a função no intervalo de entre -3 e 3.
Pontos de equilíbrio e valores chave:
:
:
: idem,
Comportamento nos extremos:
Quando aumenta muito, o termo domina, e tende a .
Forma do gráfico:
O gráfico tem dois “vales” nos pontos e onde (pontos estáveis).
Há um “topo” no ponto onde (ponto instável).
A curva é simétrica em relação ao eixo porque é uma função par (apenas potências pares de ).
Esboço:
Plotamos os pontos-chave e desenhamos uma curva que desce dos extremos para os vales nos pontos de equilíbrio estáveis e sobe para o topo no ponto instável.