Considere o sistema definido por ddoty+6 ddoty+11 doty+6 y=6 u onde y é o output e u é o input. Obtenha a representação em espaço de estados do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um sistema dinâmico representado por uma equação diferencial:
ddoty + 6 doty + 11 y = 6 u
Aqui, $ y $ é a saída (output) do sistema e $ u $ é a entrada (input). Nosso objetivo é transformar essa equação em uma representação em espaço de estados. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de sistemas dinâmicos e como converter equações diferenciais em forma matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma representação em espaço de estados. Basicamente, ela expressa o sistema usando vetores e matrizes, facilitando a análise e o controle de sistemas mais complexos. Ela é composta por duas equações principais:
dotx = A x + B u y = C x + D u
Aqui, $ \mathbf{x} $ é o vetor de estados, $ \mathbf{A} $ é a matriz do sistema, $ \mathbf{B} $ é a matriz de entrada, $ \mathbf{C} $ é a matriz de saída e $ \mathbf{D} $ é a matriz de transmissão direta.

Passo 3

Agora, vamos definir o vetor de estados. Como nossa equação diferencial é de segunda ordem ($ \ddot{y} $), precisaremos de dois estados para representá-la. Vamos definir:
ddoty
Dessa forma, podemos reescrever as derivadas:
x1 = y (estado 1) x2 = doty (estado 2)

Passo 4

Vamos agora expressar $ \ddot{y} $ a partir da equação original:
ddoty

Passo 5

Com isso, podemos montar as equações do espaço de estados:
dotx1 = x2 dotx2 = -11 x1 - 6 x2 + 6 u y = x1

Passo 6

Agora, vamos colocar isso na forma matricial. Primeiro, o vetor de estados $ \mathbf{x} $ e suas derivadas:
x
As equações podem ser reorganizadas como:
x = x1 x2 , dotx = dotx1 dotx2
E a equação de saída:
dotx = 0 & 1 -11 & -6 x + 0 6 u

Resposta

A representação em espaço de estados do sistema é:
dotx = 0 & 1 -11 & -6 x + 0 6 u y = 1 & 0 x + 0 u

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