Considere o sistema definido por
onde y é o output e u é o input. Obtenha a representação em espaço de estados do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão fala sobre um sistema dinâmico representado por uma equação diferencial:
Aqui, $ y $ é a saída (output) do sistema e $ u $ é a entrada (input). Nosso objetivo é transformar essa equação em uma representação em espaço de estados. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de sistemas dinâmicos e como converter equações diferenciais em forma matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma representação em espaço de estados. Basicamente, ela expressa o sistema usando vetores e matrizes, facilitando a análise e o controle de sistemas mais complexos. Ela é composta por duas equações principais:
Aqui, $ \mathbf{x} $ é o vetor de estados, $ \mathbf{A} $ é a matriz do sistema, $ \mathbf{B} $ é a matriz de entrada, $ \mathbf{C} $ é a matriz de saída e $ \mathbf{D} $ é a matriz de transmissão direta.
Passo 3
Agora, vamos definir o vetor de estados. Como nossa equação diferencial é de segunda ordem ($ \ddot{y} $), precisaremos de dois estados para representá-la. Vamos definir:
Dessa forma, podemos reescrever as derivadas:
Passo 4
Vamos agora expressar $ \ddot{y} $ a partir da equação original:
Passo 5
Com isso, podemos montar as equações do espaço de estados:
Passo 6
Agora, vamos colocar isso na forma matricial. Primeiro, o vetor de estados $ \mathbf{x} $ e suas derivadas:
As equações podem ser reorganizadas como:
E a equação de saída:
Resposta
A representação em espaço de estados do sistema é: