Use o teorema do valor inicial para obter f(0+) dada a transformada a seguir.
F(s)=2(s+2)s(s+1)(s+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Inicial para encontrar F(s)=2(s+2)s(s+1)(s+3) a partir da transformação de Laplace dada:
Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e fazer alguns cálculos de limites.

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Valor Inicial nos ajuda a encontrar o valor de uma função no instante inicial, ou seja, f(0+) = lims to infty [s cdot F(s)] . A fórmula do teorema diz:
Então, basicamente, a gente multiplica por e vê o que acontece quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula. Primeiro, multiplicamos s cdot F(s) = s cdot 2(s+2)s(s+1)(s+3) = 2(s+2)(s+1)(s+3) por :
Aqui, o no numerador e no denominador cancela, simplificando a expressão.

Passo 4

Agora, fazemos o limite quando lims to infty 2(s+2)(s+1)(s+3) vai para o infinito:
Para resolver esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos , e no denominador, .

Passo 5

Simplificamos dividindo todos os termos por lims to infty 2s + 4s^2 + 4s + 3 = lims to infty 2/s + 4/s^21 + 4/s + 3/s^2 :
Quando vai para o infinito, os termos com e vão para zero.

Passo 6

Portanto, o limite fica:
0 + 01 + 0 + 0 = 0
Então, .

Resposta

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