Use o teorema do valor inicial para obter
dada a transformada a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teorema do Valor Inicial para encontrar
a partir da transformação de Laplace dada:
Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e fazer alguns cálculos de limites.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Inicial nos ajuda a encontrar o valor de uma função no instante inicial, ou seja,
. A fórmula do teorema diz:
Então, basicamente, a gente multiplica
por
e vê o que acontece quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula. Primeiro, multiplicamos
por
:
Aqui, o
no numerador e no denominador cancela, simplificando a expressão.
Passo 4
Agora, fazemos o limite quando
vai para o infinito:
Para resolver esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos
, e no denominador,
.
Passo 5
Simplificamos dividindo todos os termos por
:
Quando
vai para o infinito, os termos com
e
vão para zero.
Passo 6
Portanto, o limite fica:
Então,
.