Considere um sistema com dois capacitores, C1 e C2, e um resistor R. O capacitor C1 é inicialmente carregado a uma tensão V0, enquanto o capacitor C2 é mantido descarregado. Qual é a razão entre as energias inicial e final do sistema, i.e. Ui / Uf?

Passo 1

Vamos entender o exercício: temos um sistema com dois capacitores, e , e um resistor . Inicialmente, o capacitor está carregado com uma tensão , enquanto o capacitor está descarregado. Precisamos encontrar a razão entre as energias inicial e final do sistema, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da energia armazenada em um capacitor e entender como a carga se distribui quando os capacitores estão conectados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia inicial armazenada no capacitor U = 12 C V^2 . A energia Ui = 12 C1 V0^2 armazenada em um capacitor é dada por:
Onde:
  • é a capacitância do capacitor
  • é a tensão no capacitor
Como apenas está carregado inicialmente, a energia inicial é:

Passo 3

Agora, quando os capacitores Qtotal = C1 V0 e C1 V + C2 V = C1 V0 estão conectados através do resistor V = C1 V0C1 + C2 , a carga se redistribui até que ambos tenham a mesma tensão . A carga total inicial é apenas a do :
Como a carga se distribui igualmente, temos:
Resolvendo para :

Passo 4

Com a tensão final Uf = 12 C1 V^2 + 12 C2 V^2 encontrada, podemos calcular a energia final Uf = 12 (C1 + C2) ( C1 V0C1 + C2 )^2 = 12 C1^2 V0^2C1 + C2 armazenada nos dois capacitores:
Substituindo :

Passo 5

Finalmente, para encontrar a razão entre as energias inicial e final:

Resposta

A razão entre as energias inicial e final do sistema é .

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