Nos Problemas 1-22, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
7. d yd x=e^3 x+2 y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
dydx = e^3x + 2y
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, especificamente, o método de separação de variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar isolar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

O método de separação de variáveis consiste em rearranjar a equação de forma que todas as expressões que envolvem dydx = e^3x cdot e^2y fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. Começamos reescrevendo a equação:
Isso porque .

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados da equação por dye^2y = e^3x , dx para isolar os termos com :
Dessa forma, temos todas as variáveis de um lado e do outro.

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação:
integral dye^2y = integral e^3x , dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral dye^2y = integral e^-2y , dy = -12 e^-2y + C1
Aqui, usamos a regra da integral de uma exponencial, onde .

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:
integral e^3x , dx = 13 e^3x + C2
Similarmente, aplicamos a regra da exponencial.

Passo 7

Igualando as duas integrais:
-12 e^-2y + C1 = 13 e^3x + C2
Podemos simplificar combinando as constantes:
-12 e^-2y = 13 e^3x + C

Passo 8

Finalmente, resolvendo para e^-2y = -23 e^3x + C' :
-2y = ln(-23 e^3x + C')
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
y = -12 ln(-23 e^3x + C)
Multiplicando por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = -12 ln(-23 e^3x + C)

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