Nos Problemas 1-22, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
7.
7.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais e, especificamente, o método de separação de variáveis. Para resolver essa equação, vamos precisar isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
O método de separação de variáveis consiste em rearranjar a equação de forma que todas as expressões que envolvem
fiquem de um lado e as que envolvem
fiquem do outro. Começamos reescrevendo a equação:
Isso porque
.
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados da equação por
para isolar os termos com
:
Dessa forma, temos todas as variáveis
de um lado e
do outro.
Passo 4
Integrando ambos os lados da equação:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da integral de uma exponencial, onde
.
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Similarmente, aplicamos a regra da exponencial.
Passo 7
Igualando as duas integrais:
Podemos simplificar combinando as constantes:
Passo 8
Finalmente, resolvendo para
:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: