Um material radioativo, como o isótopo tório-234, desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se
é a quantidade presente no instante
, então
, em que
é a taxa de decaimento.
(a) Se 100 mg de tório-234 decaem a
em 1 semana, determine a taxa de decaimento
.
(a) Se 100 mg de tório-234 decaem a
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo, especificamente do isótopo tório-234. A gente precisa encontrar a taxa de decaimento
. Para isso, vamos usar a equação que descreve como a quantidade de material radioativo diminui ao longo do tempo:
. Vamos precisar entender essa fórmula e como aplicá-la para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação que descreve um decaimento exponencial. A solução geral dessa equação é
, onde:
-
é a quantidade de material no tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a taxa de decaimento, -
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
No problema, sabemos que inicialmente temos
mg de tório-234. Depois de 1 semana, a quantidade restante é
mg. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar
:
Passo 4
Agora, precisamos isolar
. Primeiro, dividimos ambos os lados por 100:
Passo 5
Para eliminar o
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Resposta
A taxa de decaimento
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Considere um sistema com dois capacitores,
e
, e um resistor
. O capacitor
é inicialmente carregado a uma tensão
, enquanto o capacitor
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?
Nos Problemas 1-22, resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
7.
7.
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?