Considere um sistema com dois capacitores,
e
, e um resistor
. O capacitor
é inicialmente carregado a uma tensão
, enquanto o capacitor
é mantido descarregado. Quais são as cargas finais em
e
?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que está acontecendo na questão. Temos um sistema com dois capacitores,
e
, e um resistor
. Inicialmente, o capacitor
está carregado com uma tensão
, enquanto o capacitor
está descarregado. Nosso objetivo é descobrir qual será a carga final em cada um dos capacitores depois que o sistema atingir o equilíbrio.
Passo 2
Quando os capacitores estão conectados através de um resistor, a carga vai se redistribuir até que ambos os capacitores tenham a mesma tensão. Isso acontece porque no estado final, sem corrente fluindo, as tensões nos dois capacitores devem ser iguais.
Passo 3
Vamos lembrar que a carga em um capacitor está relacionada à sua capacitância e à tensão pela fórmula:
onde
é a carga,
é a capacitância e
é a tensão.
Passo 4
No estado final, as tensões nos dois capacitores serão iguais. Vamos chamar essa tensão comum de
. Assim, temos:
Onde
é a carga em
e
é a carga em
.
Passo 5
Sabemos que inicialmente toda a carga está no
. Portanto, a carga total do sistema é
. No início,
e
. No estado final, a carga total permanece a mesma, já que não há perda de carga.
Passo 6
Usando a relação das tensões iguais, podemos escrever:
E como a carga total é constante:
Substituindo
na equação:
Passo 7
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Simplificando a expressão para
:
Passo 9
Agora, encontramos
. Para encontrar
, usamos a relação:
Substituindo
:
Resposta
As cargas finais são:
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é a quantidade presente no instante
, então
, em que
é a taxa de decaimento.
(a) Se 100 mg de tório-234 decaem a em 1 semana, determine a taxa de decaimento
.
(a) Se 100 mg de tório-234 decaem a
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. ;
f.
Determine uma equação diferencial cuja solução seja
.