Considere um sistema com dois capacitores, C1 e C2, e um resistor R. O capacitor C1 é inicialmente carregado a uma tensão V0, enquanto o capacitor C2 é mantido descarregado. Quais são as cargas finais em C1 e C2?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que está acontecendo na questão. Temos um sistema com dois capacitores, C1 e C2, e um resistor R. Inicialmente, o capacitor C1 está carregado com uma tensão V0, enquanto o capacitor C2 está descarregado. Nosso objetivo é descobrir qual será a carga final em cada um dos capacitores depois que o sistema atingir o equilíbrio.

Passo 2

Quando os capacitores estão conectados através de um resistor, a carga vai se redistribuir até que ambos os capacitores tenham a mesma tensão. Isso acontece porque no estado final, sem corrente fluindo, as tensões nos dois capacitores devem ser iguais.

Passo 3

Vamos lembrar que a carga em um capacitor está relacionada à sua capacitância e à tensão pela fórmula:
Q = C cdot V
onde Q é a carga, C é a capacitância e V é a tensão.

Passo 4

No estado final, as tensões nos dois capacitores serão iguais. Vamos chamar essa tensão comum de V. Assim, temos:
V = Q1C1 = Q2C2
Onde Q1 é a carga em C1 e Q2 é a carga em C2.

Passo 5

Sabemos que inicialmente toda a carga está no C1. Portanto, a carga total do sistema é Qtotal = Q1 + Q2. No início, Q1 = C1 cdot V0 e Q2 = 0. No estado final, a carga total permanece a mesma, já que não há perda de carga.

Passo 6

Usando a relação das tensões iguais, podemos escrever:
Q2 = C2C1 cdot Q1
E como a carga total é constante:
Q1 + Q2 = C1 cdot V0
Substituindo Q2 na equação:
Q1 + C2C1 cdot Q1 = C1 cdot V0

Passo 7

Fatorando Q1:
Q1 (1 + C2C1) = C1 cdot V0
Resolvendo para Q1:

Passo 8

Simplificando a expressão para Q1:

Passo 9

Agora, encontramos Q1. Para encontrar Q2, usamos a relação:
Substituindo Q2 = C2 cdot V = C2 cdot Q1C1 = C2C1 cdot Q1 :

Resposta

As cargas finais são:
Q1 = C1 cdot C2 cdot V0C1 + C2
Q2 = C2 cdot C1 cdot V0C1 + C2

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