Determine uma equação diferencial cuja solução seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma equação diferencial cuja solução seja
. Isso envolve assuntos de equações diferenciais lineares e soluções gerais. Vamos precisar entender como as soluções de equações diferenciais se relacionam com as suas equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma solução geral de uma equação diferencial homogênea de segunda ordem, ela normalmente tem a forma
, onde
e
são as raízes da equação característica associada.
Passo 3
No nosso caso, a solução é
. Isso significa que as raízes da equação característica são
e
.
Passo 4
A equação característica para uma equação diferencial de segunda ordem da forma
é
. Queremos encontrar p e q que correspondam às raízes 2 e -3.
Passo 5
Sabemos que, para uma equação quadrática
com raízes
e
, temos que:
- Soma das raízes:
- Produto das raízes:
Passo 6
Aplicando isso às nossas raízes:
- Soma:
⇒ - Produto:
Passo 7
Agora que temos os valores de p e q, podemos montar a equação diferencial:
Resposta
A equação diferencial desejada é
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. ;
f.
Considere um sistema com dois capacitores,
e
, e um resistor
. O capacitor
é inicialmente carregado a uma tensão
, enquanto o capacitor
é mantido descarregado. Quais são as cargas finais em
e
?
Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
.