Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. 2 y^prime prime+y^prime-4 y=0, y(0)=0, y^prime(0)=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de equação diferencial que você me passou. O enunciado é:
2 y'' + y' - 4 y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos achar a solução geral da equação diferencial e, depois, usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é encontrada substituindo 2 r^2 + r - 4 = 0 na equação diferencial:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r = -b pm raizb^2 - 4ac2a para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( De):
Como , teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Encontrando as raízes:
r = -1 pm raiz334
Então, as soluções são:
r1 = -1 + raiz334
r2 = -1 - raiz334

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é então:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo y(t) = C1 e^( -1 + raiz334 ) t + C2 e^( -1 - raiz334 ) t e :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar 0 = C1 e^0 + C2 e^0 e 0 = C1 + C2 .
Primeira condição: C2 = -C1
Substituindo :

Passo 8

Segunda condição: y'(t) = C1 ( -1 + raiz334 ) e^( -1 + raiz334 ) t + C2 ( -1 - raiz334 ) e^( -1 - raiz334 ) t
Primeiro, vamos achar a derivada de 1 = C1 ( -1 + raiz334 ) + C2 ( -1 - raiz334 ) :
1 = C1 ( -1 + raiz334 ) - C1 ( -1 - raiz334 )
Substituindo 1 = C1 ( -1 + raiz33 + 1 + raiz334 ) :
1 = C1 ( 2raiz334 )
Usando 1 = C1 ( raiz332 ) :
C1 = 2raiz33

Passo 9

Agora que temos C2 = -C1 = -2raiz33 , encontramos :

Passo 10

Finalmente, substituímos y(t) = 2raiz33 e^( -1 + raiz334 ) t - 2raiz33 e^( -1 - raiz334 ) t e na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 2raiz33 ( e^( -1 + raiz334 ) t - e^( -1 - raiz334 ) t )

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