Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f.
;
f.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de equação diferencial que você me passou. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, precisamos achar a solução geral da equação diferencial e, depois, usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é encontrada substituindo
na equação diferencial:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
, teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Encontrando as raízes:
Então, as soluções são:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é então:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
Substituindo
:
Passo 8
Segunda condição:
Primeiro, vamos achar a derivada de
:
Substituindo
:
Usando
:
Passo 9
Agora que temos
, encontramos
:
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: