Encontre um sistema linear inconsistente que tem mais incógnitas do que equações.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um sistema de equações lineares que não tenha solução (ou seja, seja inconsistente) e que tenha mais incógnitas do que equações. Isso tudo está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema inconsistente. Um sistema é inconsistente quando não existe nenhum conjunto de valores para as incógnitas que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Geralmente, isso acontece quando as equações se contradizem.
Passo 3
Agora, queremos mais incógnitas do que equações. Isso significa que temos uma situação em que temos “espaço extra” nas incógnitas, o que normalmente levaria a infinitas soluções. Mas para o sistema ser inconsistente, precisamos que, apesar de ter menos equações, essas equações se contradigam.
Passo 4
Vamos construir um exemplo simples com duas equações e três incógnitas:
Passo 5
Vamos verificar se esse sistema é inconsistente. Observe que a segunda equação é o dobro da primeira, mas o lado direito não é duas vezes 1 (que seria 2), e sim 3. Isso cria uma contradição, porque se multiplicarmos a primeira equação por 2, deveríamos obter:
Mas nós temos:
Isso não faz sentido, ou seja, não há valores de
,
e
que possam satisfazer ambas as equações ao mesmo tempo.
Resposta
Um exemplo de sistema linear inconsistente com mais incógnitas do que equações é:
Esse sistema não possui solução porque as duas equações se contradizem.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que se
, então a forma escalonada reduzida por linhas de
(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema
tem exatamente uma solução quando
.
Resolva o sistema
Considere o sistema de equações
Discuta as posições relativas das retas
quando o sistema
(a) tem somente a solução trivial e
(b) tem soluções não-triviais.
(a) tem somente a solução trivial e
(b) tem soluções não-triviais.
Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo, (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.
(b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequiências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes.