(a) Mostre que se a d-b c neq 0, então a forma escalonada reduzida por linhas de
[ll a & b c & d ] é [ll 1 & 0 0 & 1 ] é
(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema
l a x+b y=k c x+d y=l
tem exatamente uma solução quando a d-b c neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado tem duas partes. Na parte (a), precisamos mostrar que se [ll a & b c & d ] , então a forma escalonada reduzida por linhas da matriz
[ll 1 & 0 0 & 1 ]
é a matriz identidade
l a x + b y = k c x + d y = l
Já na parte (b), vamos usar o resultado da parte (a) para provar que o sistema de equações
tem exatamente uma solução quando .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). A matriz dada é uma matriz 2x2:
[ll a & b c & d ]
Queremos transformar essa matriz na forma escalonada reduzida por linhas (RREF), que no caso de uma matriz 2x2 é a matriz identidade
[ll 1 & 0 0 & 1 ]
Para isso, vamos aplicar operações de linha. Mas antes, vamos lembrar que o determinante dessa matriz é . A condição nos diz que a matriz é invertível e, portanto, podemos reduzi-la à identidade.

Passo 3

Vamos realizar as operações de linha passo a passo. Primeiro, queremos que o elemento [ll 1 & ba c & d ] na posição (1,1) seja 1. Para isso, dividimos a primeira linha por [ll 1 & ba 0 & d - c cdot ba ] :
d - b ca = a d - b ca
Agora, queremos eliminar o elemento [ll 1 & ba 0 & 1 ] na posição (2,1). Para isso, subtraímos vezes a primeira linha da segunda linha:
Simplificando o elemento (2,2):
Como , podemos dividir a segunda linha por para obter 1 na posição (2,2):

Passo 4

Agora, queremos eliminar o elemento [ll 1 & 0 0 & 1 ] na posição (1,2). Para isso, subtraímos vezes a segunda linha da primeira linha:
Pronto! Chegamos à matriz identidade, mostrando que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz original é de fato a identidade quando .

Passo 5

Vamos para a parte (b). Queremos mostrar que o sistema de equações
l a x + b y = k c x + d y = l
tem exatamente uma solução quando .
Sabemos que uma matriz invertível (com determinante diferente de zero) tem uma única solução para o sistema associado. Como na parte (a) mostramos que quando , a matriz dos coeficientes pode ser reduzida à identidade, isso significa que não há dependência linear entre as equações e que o sistema é consistente e independente, ou seja, tem exatamente uma solução.

Resposta

Quando , a forma escalonada reduzida por linhas da matriz dada é a matriz identidade, e o sistema de equações possui exatamente uma solução única.

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