(a) Mostre que se
, então a forma escalonada reduzida por linhas de
(b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema
tem exatamente uma solução quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! O enunciado tem duas partes. Na parte (a), precisamos mostrar que se
, então a forma escalonada reduzida por linhas da matriz
é a matriz identidade
Já na parte (b), vamos usar o resultado da parte (a) para provar que o sistema de equações
tem exatamente uma solução quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). A matriz dada é uma matriz 2x2:
Queremos transformar essa matriz na forma escalonada reduzida por linhas (RREF), que no caso de uma matriz 2x2 é a matriz identidade
Para isso, vamos aplicar operações de linha. Mas antes, vamos lembrar que o determinante dessa matriz é
. A condição
nos diz que a matriz é invertível e, portanto, podemos reduzi-la à identidade.
Passo 3
Vamos realizar as operações de linha passo a passo. Primeiro, queremos que o elemento
na posição (1,1) seja 1. Para isso, dividimos a primeira linha por
:
Agora, queremos eliminar o elemento
na posição (2,1). Para isso, subtraímos
vezes a primeira linha da segunda linha:
Simplificando o elemento (2,2):
Como
, podemos dividir a segunda linha por
para obter 1 na posição (2,2):
Passo 4
Agora, queremos eliminar o elemento
na posição (1,2). Para isso, subtraímos
vezes a segunda linha da primeira linha:
Pronto! Chegamos à matriz identidade, mostrando que a forma escalonada reduzida por linhas da matriz original é de fato a identidade quando
.
Passo 5
Vamos para a parte (b). Queremos mostrar que o sistema de equações
tem exatamente uma solução quando
.
Sabemos que uma matriz invertível (com determinante diferente de zero) tem uma única solução para o sistema associado. Como na parte (a) mostramos que quando
, a matriz dos coeficientes pode ser reduzida à identidade, isso significa que não há dependência linear entre as equações e que o sistema é consistente e independente, ou seja, tem exatamente uma solução.
Resposta
Quando
, a forma escalonada reduzida por linhas da matriz dada é a matriz identidade, e o sistema de equações possui exatamente uma solução única.