Considere o sistema de equações lineares abaixo:
c k x+y+z=1 x+k y+z=1 x+y+k z=1
Encontre os valores de k in R tais que o sistema seja
Impossível.

Passo 1

Fala aí! Vamos dar uma olhada nesse sistema de equações que a gente tem:
c k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1
A parada aqui é descobrir quais valores de fazem esse sistema não ter solução, ou seja, ser impossível. Para isso, vamos usar uns conceitos de álgebra linear, tipo determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes desse sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k , e em cada equação:
Agora, para saber se o sistema tem ou não solução, a gente olha o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nem ter nenhuma (ser impossível).

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1) :
det(A) = k^3 - k - k + 1 + 1 - k = k^3 - 3k + 2
Simplificando passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Juntando tudo:
Então, o determinante é .

Passo 4

Para o sistema ser impossível, precisamos que o determinante seja zero e que o sistema seja inconsistente. Primeiro, vamos achar os valores de k^3 - 3k + 2 = 0 que fazem (k - 1)(k^2 + k - 2) = 0 (k - 1)(k + 2)(k - 1) = 0 :
Vamos resolver essa equação cúbica. Testando possíveis raízes, vemos que:
  • : → é raiz.
  • Fazendo divisão sintética ou fatorando, a equação fica:
Então, os valores de são (com multiplicidade 2) e .

Passo 5

Agora, vamos verificar quais desses valores fazem o sistema ser impossível.
Quando c 1x + y + z = 1 x + 1y + z = 1 x + y + 1z = 1 :
Substituindo na matriz:
c -2x + y + z = 1 x - 2y + z = 1 x + y - 2z = 1
Observando as equações, todas elas acabam sendo equivalentes, o que quer dizer que temos infinitas soluções (o sistema não é impossível).
Quando :
Substituindo:
Calculando o determinante, que já sabemos que é zero, e verificando as equações, vemos que elas são inconsistentes entre si (não dá para resolver simultaneamente). Portanto, para , o sistema não tem solução.

Resposta

O valor de que torna o sistema impossível é .

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