Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para provar que a função
pode ser representada por uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor e como aplicá-la à função
. Vamos seguir passo a passo para construir essa expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
. Nosso objetivo é encontrar essa série para a função
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
e avaliá-las em
. Primeiro, a primeira derivada:
Avaliando em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 5
Continuando, calculamos a terceira derivada:
Avaliando em
:
Passo 6
Perceba que as derivadas pares em
são todas zero e as derivadas ímpares seguem um padrão. Vamos generalizar isso. A n-ésima derivada de
avaliada em
será:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Substituindo
:
Simplificando
:
Resposta
Portanto, provamos que a expansão de Taylor de
centrada em
é: