Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. arctan x=sumn=0^infty x^2 n+12 n+1(-1)^n

Passo 1

Ok, vamos entender o que a gente precisa fazer aqui. O enunciado pede para provar que a função arctan x pode ser representada por uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em x=0. Ou seja, queremos mostrar que:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor e como aplicá-la à função arctan x. Vamos seguir passo a passo para construir essa expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) centrada em x=0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Aqui, f^(n)(0) representa a n-ésima derivada de f(x) avaliada em x=0. Nosso objetivo é encontrar essa série para a função f(x) = arctan x.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de f(x) = arctan x e avaliá-las em x=0. Primeiro, a primeira derivada:
f'(x) = ddx arctan x = 11 + x^2
Avaliando em x=0:
f'(0) = 11 + 0^2 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada:
f''(x) = ddx ( 11 + x^2 ) = -2x(1 + x^2)^2
Avaliando em x=0:
f''(0) = -2 cdot 0(1 + 0^2)^2 = 0

Passo 5

Continuando, calculamos a terceira derivada:
f'''(x) = ddx ( -2x(1 + x^2)^2 ) = -2(1 + x^2)^2 + 8x^2(1 + x^2)(1 + x^2)^4 = 2(3x^2 -1)(1 + x^2)^3
Avaliando em x=0:
f'''(0) = 2(3 cdot 0^2 -1)(1 + 0^2)^3 = -2

Passo 6

Perceba que as derivadas pares em x=0 são todas zero e as derivadas ímpares seguem um padrão. Vamos generalizar isso. A n-ésima derivada de f(x) = arctan x avaliada em x=0 será:

Passo 7

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
arctan x = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=0^infty f^(2n+1)(0)(2n+1)! x^2n+1
Substituindo f^(2n+1)(0):
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n (2n)!(2n+1)! x^2n+1
Simplificando (2n)!(2n+1)! = 12n+1:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n+1 x^2n+1

Resposta

Portanto, provamos que a expansão de Taylor de arctan x centrada em x=0 é:
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1

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