Usando operações elementares, encontre A^-1, onde:
A=[cccc2 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 0 & 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz usando operações elementares. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente de matrizes e inversas. Para isso, vamos usar operações de linha para transformar a matriz na matriz identidade e aplicar as mesmas operações na matriz identidade para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz [cccc|cccc 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ] e anexar a ela a matriz identidade do mesmo tamanho. Isso fica assim:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar o lado esquerdo dessa matriz aumentada na identidade. Vamos começar pela primeira coluna. Queremos que o elemento [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 ] seja 1. Atualmente, ele é 2, então vamos dividir a primeira linha por 2:

Passo 4

Agora, vamos zerar os outros elementos da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha e adicionamos a primeira linha à quarta linha:
  • Nova linha 2 = Linha 2 - Linha 1
  • Nova linha 4 = Linha 4 + Linha 1
[cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & -12 & -1 & 1 & -12 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 12 & 0 & 3 & 12 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna agora. Queremos que o elemento [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 12 & 0 & 3 & 12 & 0 & 0 & 1 ] seja 1. Atualmente, ele é , então multiplicamos a segunda linha por :

Passo 6

Agora, vamos zerar os outros elementos da segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha e subtraímos metade da segunda linha da quarta linha:
  • Nova linha 3 = Linha 3 - Linha 2
  • Nova linha 4 = Linha 4 - (1/2) * Linha 2
[cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 ]

Passo 7

Focando na terceira coluna, queremos que o elemento [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & -1 & 4 & 0 & 1 & 0 & 1 ] seja 1. Mas ele é , então multiplicamos a terceira linha por :

Passo 8

Vamos zerar os outros elementos da terceira coluna. Adicionamos a terceira linha à quarta linha e subtraímos 2 vezes a terceira linha da segunda linha:
  • Nova linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 3
  • Nova linha 4 = Linha 4 + Linha 3
[cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 4 & -1 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & -2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 ]

Passo 9

Por último, vamos ajustar a quarta coluna para que o elemento [cccc|cccc 1 & 12 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & 6 & 6 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & -8 & -4 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 ] seja 1 (já está correto). Agora, vamos zerar os outros elementos da quarta coluna. Multiplicamos a quarta linha por 1 (já está 1) e usamos ela para zerar acima:
  • Nova linha 1 = Linha 1 - 0 * Linha 4 (não muda)
  • Nova linha 2 = Linha 2 - 4 * Linha 4
  • Nova linha 3 = Linha 3 + 3 * Linha 4

Passo 10

Agora, queremos que a matriz do lado esquerdo seja a identidade. Vamos zerar o elemento [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & -3 & 2 0 & 1 & 0 & 0 & -5 & 6 & 6 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & -8 & -4 & 3 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 ] . Subtraímos metade da segunda linha da primeira linha:
  • Nova linha 1 = Linha 1 - (1/2) * Linha 2

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = [cccc 3 & -3 & -3 & 2 -5 & 6 & 6 & -4 4 & -8 & -4 & 3 1 & -1 & -1 & 1 ] é:

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