Considere o sistema de equações lineares abaixo:
c k x+y+z=1 x+k y+z=1 x+y+k z=1
Encontre os valores de k in R tais que o sistema seja
Possível e indeterminado.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações:
c k x + y + z = 1 x + k y + z = 1 x + y + k z = 1
O objetivo é encontrar os valores de que tornam esse sistema possível e indeterminado, ou seja, que permitem que o sistema tenha infinitas soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, representamos o sistema na forma de matriz:
A cdot x y z = 1 1 1
Onde A = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Para que o sistema seja possível e indeterminado, a matriz dos coeficientes deve ser singular, ou seja, seu determinante deve ser igual a zero. Além disso, o sistema deve ser consistente, o que garantirá que haja soluções.

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = k & 1 & 1 1 & k & 1 1 & 1 & k :
det(A) = k(k cdot k - 1 cdot 1) - 1(1 cdot k - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - k cdot 1)
Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace, podemos expandir o determinante:
det(A) = k(k^2 - 1) - 1(k - 1) + 1(1 - k)
Simplificando:
det(A) = k^3 - k - k + 1 + 1 - k
det(A) = k^3 - 3k + 2

Passo 5

Agora, para encontrar os valores de k^3 - 3k + 2 = 0 que tornam o determinante zero, resolvemos a equação:
1^3 - 3 cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica. Podemos tentar fatorar.
Testando k^3 - 3k + 2 = (k - 1)(k^2 + k - 2) :
k^2 + k - 2 = (k + 2)(k - 1)
Portanto, k^3 - 3k + 2 = (k - 1)^2 (k + 2) é um fator. Fazendo a divisão polinomial ou usando a fatoração:
Agora, fatoramos o polinômio quadrático:
Portanto:

Passo 6

As raízes da equação são os valores de k - 1 = 0 ou k + 2 = 0 que satisfazem k = 1 ou k = -2 . Assim, temos:
Portanto:

Resposta

Os valores de que tornam o sistema possível e indeterminado são e .

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