Para a matriz , calcule os autovalores e autovetores normalizados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a matriz 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 e precisamos encontrar os autovalores e os autovetores normalizados dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Como lambda1 = 1, lambda2 = 1, lambda3 = 1 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são:
Isso significa que o único autovalor é , com multiplicidade 3.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor N - I = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Para isso, resolvemos a equação , onde é o autovetor.