Para a matriz N=(lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1), calcule os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a matriz 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 e precisamos encontrar os autovalores e os autovetores normalizados dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar saber como calcular determinantes e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Como lambda1 = 1, lambda2 = 1, lambda3 = 1 é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, os autovalores de são:
Isso significa que o único autovalor é , com multiplicidade 3.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor N - I = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Para isso, resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Substituindo na matriz :

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
0 cdot v1 + 1 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 1 cdot v3 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0
Da segunda equação, temos . Substituindo na primeira equação: então . O valor de não está restrito, então pode ser qualquer número real.

Passo 6

Assim, os autovetores são múltiplos de 1 0 0. Para obter o autovetor normalizado, precisamos que a sua norma seja 1.
A norma de 1 0 0 é:
|v| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1
Então, o autovetor já está normalizado.

Resposta

Os autovalores da matriz v = 1 0 0 são todos iguais a 1, ou seja, com multiplicidade 3. O autovetor normalizado correspondente é:

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