Seja
um vetor não-nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbritário
na reta que que contém o vetor
é dado por
A função proj é uma transformação linear? Em caso afirmativo, determine sua matriz.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor fixo
no plano
e uma fórmula para projetar qualquer vetor
nessa reta. O conteúdo envolvido aqui é transformação linear e matrizes de transformação. Vamos precisar verificar se a função projeção é uma transformação linear e, se for, encontrar a matriz que a representa.
Passo 2
Para verificar se a projeção
é uma transformação linear, precisamos confirmar se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades usando a fórmula da projeção.
Passo 3
Verificando a Adição Vetorial:
Isso mostra que a projeção preserva a adição vetorial.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Isso mostra que a projeção preserva a multiplicação por escalar.
Passo 5
Como a projeção
satisfaz ambas as propriedades de linearidade, concluímos que ela é, de fato, uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos determinar a matriz que representa essa transformação linear. Seja
. A fórmula da projeção é:
Calculando o produto interno:
E:
Então:
Portanto, a matriz da transformação é:
Resposta
Sim, a função projeção é uma transformação linear. A matriz que a representa é