Seja v0=(x0, y0) in R^2 um vetor não-nulo fixo. A projeção ortogonal de um vetor arbritário u na reta que que contém o vetor v é dado por
projv u=lang<= u, vrang<=lang<= v, vrang<= v
A função proj é uma transformação linear? Em caso afirmativo, determine sua matriz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor fixo no plano e uma fórmula para projetar qualquer vetor nessa reta. O conteúdo envolvido aqui é transformação linear e matrizes de transformação. Vamos precisar verificar se a função projeção é uma transformação linear e, se for, encontrar a matriz que a representa.

Passo 2

Para verificar se a projeção é uma transformação linear, precisamos confirmar se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades usando a fórmula da projeção.

Passo 3

Verificando a Adição Vetorial:
projv(u + w) = lang<= u + w, v rang<=lang<= v, v rang<= v = lang<= u, v rang<= + lang<= w, v rang<=lang<= v, v rang<= v = lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= v + lang<= w, v rang<=lang<= v, v rang<= v = projv(u) + projv(w)
Isso mostra que a projeção preserva a adição vetorial.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
projv(c cdot u) = lang<= c cdot u, v rang<=lang<= v, v rang<= v = c cdot lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= v = c cdot lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= v = c cdot projv(u)
Isso mostra que a projeção preserva a multiplicação por escalar.

Passo 5

Como a projeção satisfaz ambas as propriedades de linearidade, concluímos que ela é, de fato, uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos determinar a matriz que representa essa transformação linear. Seja projv u = lang<= u, v rang<=lang<= v, v rang<= v . A fórmula da projeção é:
lang<= u, v rang<= = u1 x0 + u2 y0
Calculando o produto interno:
lang<= v, v rang<= = x0^2 + y0^2
E:
projv u = u1 x0 + u2 y0x0^2 + y0^2 x0 y0 = 1x0^2 + y0^2 x0^2 & x0 y0 x0 y0 & y0^2 u1 u2
Então:
M = 1x0^2 + y0^2 x0^2 & x0 y0 x0 y0 & y0^2
Portanto, a matriz da transformação é:

Resposta

Sim, a função projeção é uma transformação linear. A matriz que a representa é
M = 1x0^2 + y0^2 x0^2 & x0 y0 x0 y0 & y0^2

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