Considere o sistema de equações lineares:
O sistema dado admite decomposição ? Por quê?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem um sistema de equações lineares representado por uma matriz multiplicada pelo vetor de incógnitas , igual a um vetor . A pergunta é se esse sistema admite uma decomposição , ou seja, se a matriz pode ser decomposta em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a decomposição e verificar se é possível aplicá-la à matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a decomposição . Essa técnica é usada para simplificar a resolução de sistemas de equações lineares. A ideia é escrever a matriz como o produto de duas matrizes triangulares: uma inferior ( ) e uma superior ( ). Isso facilita muito na hora de resolver as equações, porque trabalhar com matrizes triangulares é mais simples.

Passo 3

Agora, vamos analisar a matriz do sistema:
Para verificar se é possível fazer a decomposição , precisamos verificar se a matriz é não singular, ou seja, se ela tem determinante diferente de zero. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível e não podemos realizar a decomposição .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de . Para uma matriz , o determinante pode ser calculado da seguinte forma:
Substituindo os valores de :
Como o determinante é 4, que é diferente de zero, a matriz é não singular e, portanto, passível de decomposição .

Passo 5

Além do determinante não ser zero, precisamos garantir que não ocorra nenhuma divisão por zero durante o processo de decomposição. Observando a matriz , vemos que os pivôs (elementos na diagonal principal que usamos para eliminar os outros elementos) são todos diferentes de zero:
  • Primeiro pivô: (não zero)
  • Segundo pivô: resultado após eliminar o primeiro elemento abaixo do pivô
  • Terceiro pivô: semelhante
Como todos os pivôs são diferentes de zero, não precisamos trocar linhas para evitar divisões por zero, o que facilita ainda mais a decomposição .

Resposta

Sim, o sistema dado admite decomposição , pois a matriz é não singular (com determinante igual a 4) e possui pivôs diferentes de zero, permitindo a decomposição sem necessidade de troca de linhas.

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