O Método Iterativo de Gauss-Jacobi seria convergente para a solução do sistema dado? Justifique sua resposta usando as condições de convergência do método.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos um sistema de equações lineares representado por uma matriz de coeficientes e um vetor de termos constantes. A questão é saber se o Método Iterativo de Gauss-Jacobi vai convergir para a solução desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições de convergência do método de Gauss-Jacobi e verificar se elas se aplicam ao sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Gauss-Jacobi. É um método iterativo usado para resolver sistemas de equações lineares da forma , onde é uma matriz de coeficientes, é o vetor de incógnitas e é o vetor de termos constantes. O método funciona de forma que, a cada iteração, atualizamos os valores das incógnitas com base nas equações anteriores.
Passo 3
Para que o Método de Gauss-Jacobi converja, uma condição importante é que a matriz seja diagonalmente dominante. Isso significa que, para cada linha da matriz, o valor absoluto do coeficiente da diagonal principal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes nessa mesma linha. Matematicamente, para cada linha :
Passo 4
Vamos verificar se a matriz do sistema fornecido é diagonalmente dominante. A matriz é:
Vamos analisar cada linha:
Primeira linha: → ✔️
Segunda linha: → ✔️
Terceira linha: → ❌
Passo 5
Observamos que a terceira linha não satisfaz a condição de diagonalmente dominante, já que . Isso significa que a matriz não é diagonalmente dominante.
Passo 6
Como a matriz não é diagonalmente dominante, precisamos verificar outras condições de convergência. Outra condição possível é que a matriz seja simétrica e definida positiva. No entanto, olhando para a matriz , vemos que ela não é simétrica porque e , que não são iguais.
Passo 7
Sem diagonal dominante e sem ser simétrica, a matriz não atende às condições clássicas de convergência do Método de Gauss-Jacobi. Portanto, não podemos garantir que o método irá convergir para a solução desse sistema.
Resposta
O Método Iterativo de Gauss-Jacobi não é garantidamente convergente para a solução do sistema dado, pois a matriz dos coeficientes não atende às condições de convergência necessárias, como ser diagonalmente dominante ou simétrica e definida positiva.