Seja
um corpo e considere os seguintes subconjuntos de
.
Verifique que
e
são subespaços de
e que
. Determine as bases de
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os conjuntos
e
são subespaços de
, que
é a soma direta deles, e também para encontrar as bases desses subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, soma direta e bases. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um subespaço de
. Para ser subespaço, precisa satisfazer três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
1. Vetor zero:
Se e
, então
. Então, o vetor zero está em
.
Se
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , digamos
e
, a soma deles é
, que também está em
.
Se temos dois vetores em
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em
e um escalar
, então
, que também está em
.
Se temos um vetor
Como todas as três propriedades são satisfeitas,
é um subespaço de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um subespaço de
. Usamos as mesmas três propriedades:
1. Vetor zero:
Se , então
. Então, o vetor zero está em
.
Se
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , como
e
, a soma deles é
, que também está em
.
Se temos dois vetores em
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em
e um escalar
, então
, que também está em
.
Se temos um vetor
Assim,
também é um subespaço de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
e
são subespaços, vamos mostrar que
. Isso significa que todo vetor em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de
e um vetor de
.
Para isso, precisamos verificar duas coisas:
-
(todo vetor é soma de vetores de e ). -
(a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero).
1. Vamos considerar um vetor arbitrário
em
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo:
- Da primeira equação:
- Da segunda:
- Substituindo na terceira:
Então,
e
.
Assim, todo vetor
pode ser escrito como:
Portanto,
.
2. Agora, vamos verificar a interseção
. Seja
um vetor que está em ambos os subespaços. Então:
Isso implica que:
Substituindo
e
na terceira equação:
Então,
, ou seja,
.
Como as duas condições são satisfeitas, concluímos que
.
Passo 5
Por fim, vamos determinar as bases de
e
.
Base de
:
Observando a definição de , vemos que cada vetor é da forma
. Podemos escrever isso como:
Observando a definição de
Portanto, os vetores
e
geram
. Além disso, são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Assim, uma base para
é:
Base de
:
Cada vetor em é da forma
, que pode ser escrito como:
Cada vetor em
Então, o vetor
gera
. É claro que esse vetor não é o zero, então é linearmente independente. Portanto, uma base para
é:
Resposta
As bases dos subespaços são: