Seja K um corpo e considere os seguintes subconjuntos de K^3.
W1=(alpha, beta, alpha+beta): alpha, beta in K e W2=(gamma, gamma, gamma): gamma in K
Verifique que W1 e W2 são subespaços de K^3 e que K^3=W1 oplus W2. Determine as bases de W1 e W2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os conjuntos e são subespaços de , que é a soma direta deles, e também para encontrar as bases desses subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, soma direta e bases. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é um subespaço de . Para ser subespaço, precisa satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
1. Vetor zero:
Se e , então . Então, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , digamos e , a soma deles é , que também está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em e um escalar , então , que também está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é um subespaço de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é um subespaço de . Usamos as mesmas três propriedades:
1. Vetor zero:
Se , então . Então, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , como e , a soma deles é , que também está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em e um escalar , então , que também está em .
Assim, também é um subespaço de .

Passo 4

Agora que sabemos que (alpha, beta, alpha+beta) + (gamma, gamma, gamma) = (x, y, z) e alpha + gamma = x beta + gamma = y (alpha + beta) + gamma = z são subespaços, vamos mostrar que (alpha + y - x + alpha) + (x - alpha) = z (2alpha + y - x) + x - alpha = z alpha + y = z alpha = z - y . Isso significa que todo vetor em (z - y, z - x, z - y + z - x) + (x - z + y, x - z + y, x - z + y) pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de v = (alpha, beta, alpha+beta) = (gamma, gamma, gamma) e um vetor de alpha = gamma beta = gamma alpha + beta = gamma .
Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. gamma + gamma = gamma 2gamma = gamma gamma = 0 (todo vetor é soma de vetores de e ).
  2. (a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero).
1. Vamos considerar um vetor arbitrário em . Queremos encontrar e tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação:
  • Da segunda:
  • Substituindo na terceira:
Então, e .
Assim, todo vetor pode ser escrito como:
Portanto, .
2. Agora, vamos verificar a interseção . Seja um vetor que está em ambos os subespaços. Então:
Isso implica que:
Substituindo e na terceira equação:
Então, , ou seja, .
Como as duas condições são satisfeitas, concluímos que .

Passo 5

Por fim, vamos determinar as bases de alpha(1, 0, 1) + beta(0, 1, 1) e , (1, 0, 1), (0, 1, 1) , .
Base de gamma(1, 1, 1) :
Observando a definição de , (1, 1, 1) , , vemos que cada vetor é da forma . Podemos escrever isso como:
Portanto, os vetores e geram . Além disso, são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Assim, uma base para é:
Base de :
Cada vetor em é da forma , que pode ser escrito como:
Então, o vetor gera . É claro que esse vetor não é o zero, então é linearmente independente. Portanto, uma base para é:

Resposta

As bases dos subespaços são:
Base de W1 = , (1, 0, 1), (0, 1, 1) ,
Base de W2 = , (1, 1, 1) ,

Exercícios relacionados

Para o seguinte Sistema Linear:
l m^2 x-y=0 x+m y=0
Determine o valor de m de modo que o Sistema:
b) Tenha infinitas soluções
Considere o sistema de equações lineares dado abaixo:
c 2 x-y+3 z=11 4 x-3 y+2 z=0 x+y+z=6 3 x+y+z=4
(b) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada que é linha equivalente a matriz ampliada do sistema.
Determinar o valor de a para que o Sistema
lx+2 y+a z=1 2 x+a y+8 z=3 x=1
Tenha:
c) Mais de uma solução.
Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W6=f in V ; f(-x)=f(x), forall x in R.