Seja um corpo e considere os seguintes subconjuntos de .
Verifique que e são subespaços de e que . Determine as bases de e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os conjuntos e são subespaços de , que é a soma direta deles, e também para encontrar as bases desses subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, soma direta e bases. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é um subespaço de . Para ser subespaço, precisa satisfazer três propriedades:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição.
É fechado sob multiplicação por escalar.
1. Vetor zero:
Se e , então . Então, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , digamos e , a soma deles é , que também está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em e um escalar , então , que também está em .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é um subespaço de .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é um subespaço de . Usamos as mesmas três propriedades:
1. Vetor zero:
Se , então . Então, o vetor zero está em .
2. Fechado sob adição:
Se temos dois vetores em , como e , a soma deles é , que também está em .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Se temos um vetor em e um escalar , então , que também está em .
Assim, também é um subespaço de .
Passo 4
Agora que sabemos que e são subespaços, vamos mostrar que . Isso significa que todo vetor em pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de e um vetor de .
Para isso, precisamos verificar duas coisas:
(todo vetor é soma de vetores de e ).
(a interseção dos subespaços é apenas o vetor zero).
1. Vamos considerar um vetor arbitrário em . Queremos encontrar e tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Da segunda:
Substituindo na terceira:
Então, e .
Assim, todo vetor pode ser escrito como:
Portanto, .
2. Agora, vamos verificar a interseção . Seja um vetor que está em ambos os subespaços. Então:
Isso implica que:
Substituindo e na terceira equação:
Então, , ou seja, .
Como as duas condições são satisfeitas, concluímos que .
Passo 5
Por fim, vamos determinar as bases de e .
Base de :
Observando a definição de , vemos que cada vetor é da forma . Podemos escrever isso como:
Portanto, os vetores e geram . Além disso, são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Assim, uma base para é:
Base de :
Cada vetor em é da forma , que pode ser escrito como:
Então, o vetor gera . É claro que esse vetor não é o zero, então é linearmente independente. Portanto, uma base para é: