Defina o que é uma matriz em forma escalonada reduzida e descreva suas propriedades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir o que é uma matriz em forma escalonada reduzida e falar sobre as suas propriedades. Isso envolve entender alguns conceitos de álgebra linear, como operações de linha e formas especiais de matrizes. Vamos precisar saber o que são pivôs, operações elementares e como essas coisas se aplicam para transformar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz em forma escalonada reduzida (ou forma escalonada por linhas reduzida). Basicamente, é uma matriz que passou por certas operações de linha que a deixam em uma espécie de “ordem padronizada”. Essas operações são usadas para simplificar a matriz, facilitando resolver sistemas lineares, por exemplo.

Passo 3

Para que uma matriz esteja em forma escalonada reduzida, ela precisa satisfazer algumas condições específicas:
  1. Pivôs: O primeiro elemento não nulo de cada linha (chamado de pivô) deve ser 1. Esse 1 é importante porque facilita os cálculos posteriores.
  2. Posição dos pivôs: Cada pivô deve estar à direita do pivô da linha acima. Isso cria uma “escada” na matriz.
  3. Zeros acima e abaixo dos pivôs: Em cada coluna que tem um pivô, todos os outros elementos devem ser zeros. Isso significa que cada pivô é o único não-zero na sua coluna.
  4. Linhas nulas no final: Se a matriz tiver linhas que são completamente zeros, elas devem estar na parte de baixo da matriz.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre as propriedades dessa forma escalonada reduzida:
  • Unicidade: Cada matriz tem uma única forma escalonada reduzida. Isso significa que, não importa como você faz as operações de linha, o resultado final será sempre o mesmo.
  • Solução de Sistemas Lineares: A forma escalonada reduzida facilita encontrar soluções para sistemas lineares, pois deixa as variáveis em uma posição clara para serem resolvidas.
  • Independência Linear: Pivôs indicam que as colunas correspondentes são linearmente independentes, o que é útil para entender a estrutura da matriz.
  • Ranque da Matriz: O número de pivôs na forma escalonada reduzida é igual ao ranque da matriz, uma medida importante na álgebra linear.

Resposta

Então, resumindo: Uma matriz está em forma escalonada reduzida quando cada linha não-nula começa com um 1 (pivô), esses pivôs deslocam-se para a direita em linhas subsequentes, todas as outras entradas nas colunas dos pivôs são zeros, e quaisquer linhas totalmente zero estão na parte inferior. Essa forma única facilita a resolução de sistemas lineares, análise de independência linear e determinação do ranque da matriz.

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Todo sistema linear tem uma única solução.
(b) Um pivô em uma matriz é sempre igual a 1.
© Variáveis livres são aquelas que podem ser expressas em função das variáveis básicas.
Aplique o método de eliminação de Gauss no seguinte sistema:
Considere o sistema:
Mostre que o sistema possui infinitas soluções e descreva como expressar a solução em termos de variáveis livres.
Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(a) o sistema não tem solução;
(b) o sistema tem exatamente uma solução;
© o sistema tem infinitas soluções?