Suponha que u, v, w são vetores tais que lang<= u, vrang<==2,lang<= u, wrang<==-3,lang<= v, wrang<==5,|u|=1,|v|=2 e |w|=1. Calcule: lang<= 2 v+w, 2 u-vrang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá três vetores com algumas informações sobre os produtos internos entre eles e suas normas. A gente precisa calcular o produto interno de com . Para isso, vamos usar propriedades de produtos internos e álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é uma operação que combina dois vetores para formar um número real. Ele tem algumas propriedades importantes, como a distributividade em relação à adição e a multiplicação por escalar. Então, podemos distribuir o produto interno da seguinte forma:
lang<= 2v + w, 2u - v rang<= = lang<= 2v, 2u rang<= + lang<= 2v, -v rang<= + lang<= w, 2u rang<= + lang<= w, -v rang<=

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo individualmente. Lembre-se que, se a gente tem um escalar multiplicando um vetor dentro do produto interno, ele pode ser “puxado para fora” multiplicando os dois vetores juntos:
lang<= 2v, 2u rang<= = 2 times 2 times lang<= v, u rang<= = 4 times lang<= v, u rang<=
lang<= 2v, -v rang<= = 2 times (-1) times lang<= v, v rang<= = -2 times lang<= v, v rang<=
lang<= w, 2u rang<= = 2 times lang<= w, u rang<=
lang<= w, -v rang<= = -1 times lang<= w, v rang<=

Passo 4

Vamos substituir os valores que a gente conhece do enunciado:
lang<= v, u rang<= = lang<= u, v rang<= = 2
lang<= v, v rang<= = |v|^2 = 2^2 = 4
lang<= w, u rang<= = lang<= u, w rang<= = -3
lang<= w, v rang<= = lang<= v, w rang<= = 5
Substituindo esses valores:
4 times 2 + (-2) times 4 + 2 times (-3) + (-1) times 5

Passo 5

Agora, é só calcular cada parte:
4 times 2 = 8
-2 times 4 = -8
2 times (-3) = -6
-1 times 5 = -5
Somando tudo:
8 - 8 - 6 - 5 = -11

Resposta

O valor de é -11.

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