Considere o sistema de equações
O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas e , quando
(a) o sistema não tem solução;

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um sistema de três equações lineares com duas incógnitas:
Estamos estudando sistemas de equações lineares e a geometria das retas no plano. Para resolver essa questão, vamos analisar como as três retas representadas por essas equações se posicionam no plano quando o sistema não tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um sistema de equações não ter solução. Isso ocorre quando não existe nenhum par de valores que satisfaça todas as equações simultaneamente. Geometricamente, isso quer dizer que as retas não se encontram em nenhum ponto comum.

Passo 3

Como temos três retas, precisamos considerar como elas podem se posicionar umas em relação às outras. Há duas situações principais que resultam em um sistema sem solução:
  1. As três retas são paralelas e não coincidem.
  2. Duas retas são paralelas e a terceira reta intersecta essas duas em pontos diferentes.

Passo 4

Vamos detalhar a primeira situação: se as três retas são paralelas, elas nunca se encontram. Isso significa que não há nenhum ponto onde todas as três retas se cruzam, resultando em um sistema sem solução.

Passo 5

Agora, na segunda situação: se duas retas são paralelas e a terceira reta não é paralela a elas, a terceira reta irá intersectar cada uma das retas paralelas em pontos diferentes. Como essas intersecções não coincidem em um único ponto, o sistema também não terá solução.

Resposta

Quando o sistema não tem solução, as retas , e são todas paralelas e distintas ou duas são paralelas e a terceira intersecta as outras em pontos diferentes. Em ambos os casos, não existe um ponto comum a todas as três retas.

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(e)