Determine o valor de para que o sistema seja indeterminado. wwatematiques.com.br
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares! A gente precisa descobrir qual valor de torna esse sistema de três equações com três incógnitas indeterminado, ou seja, que tenha infinitas soluções. Para isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como a análise de determinantes e o escalonamento de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
3z - 4y = 1 4x - 2z = 2 -3x + 2y = 3 - k
Agora, vamos organizar esses coeficientes em uma matriz aumentada:
Para que o sistema seja indeterminado, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero e o sistema deve ser compatível. Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:
0 & -4 & 3 4 & 0 & -2 -3 & 2 & 0
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace, calculamos:
Isso indica que o sistema tem um determinante diferente de zero, o que normalmente implicaria em uma solução única. Mas como precisamos que seja indeterminado, devemos verificar se há dependência entre as equações ajustando o valor de .
Passo 4
Para ter um sistema indeterminado, além do determinante ser zero, as equações devem ser dependentes. Vamos ajustar a última equação para que isso aconteça.
A terceira equação é:
-3x + 2y = 3 - k
Vamos verificar se ela pode ser uma combinação das primeiras duas equações para algum valor de 34 cdot 4x - 34 cdot 2z = 34 cdot 2 3x - 32z = 32 .