Considere um sistema de um grau de liberdade com as seguintes propriedades constantes, a saber:
m=18 kg ; k=70 N / m ; c=0,90 Ns / m. Determine
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico de;
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de um grau de liberdade com massa , constante elástica e amortecimento . Nosso objetivo é determinar:
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico ;
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da dinâmica de sistemas vibratórios, envolvendo conceitos como frequência natural, fator de amortecimento e decremento logarítmico. Vamos passo a passo!

Passo 2

i) Fator de Amortecimento ( zeta = c2 raizm k )
Primeiro, vamos calcular o fator de amortecimento zeta = 0,902 raiz18 times 70 = 0,902 raiz1260 approx 0,902 times 35,5 approx 0,9071 approx 0,0127 . Esse fator nos diz quão amortecido está o sistema, ou seja, se ele oscila bastante ou se retorna rapidamente ao equilíbrio.
A fórmula para é:
Vamos calcular:

Passo 3

ii) Frequência Natural ( omegan = raizkm ) e Frequência Natural Amortecida ( omegad = omegan raiz1 - zeta^2 )
A frequência natural omegan = raiz7018 approx raiz3,89 approx 1,97 , rad/s é a frequência na qual o sistema oscila sem nenhuma amortecimento. Já a frequência amortecida omegad = 1,97 times raiz1 - (0,0127)^2 approx 1,97 times raiz1 - 0,000161 approx 1,97 times 0,99992 approx 1,97 , rad/s é a frequência real do sistema quando há amortecimento.
As fórmulas são:
Vamos calcular :
Agora, calculando :
Como o fator de amortecimento é muito pequeno, a diferença entre e é praticamente irrelevante.

Passo 4

iii) Decremento Logarítmico ( de)
O decremento logarítmico de mede a taxa de diminuição das oscilações do sistema. Ele indica quanto a amplitude diminui de um ciclo para o outro.
A fórmula é:
0,0796 , rad times 180pi approx 4,56^circ
Vamos calcular:
Convertendo para graus, se necessário:

Passo 5

iv) Razão entre Duas Amplitudes Consecutivas
Essa razão nos mostra quanto a amplitude diminui de um ciclo para o outro devido ao amortecimento.
A fórmula é:
An+1An = e^-de
Usando o An+1An = e^-0,0796 approx 0,923 que calculamos:
Isso significa que a amplitude no próximo ciclo é aproximadamente 92,3% da amplitude anterior.

Resposta

i) O fator de amortecimento do sistema é aproximadamente .
ii) A frequência natural é e a frequência natural amortecida é .
iii) O decremento logarítmico é (aproximadamente ).
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas é aproximadamente .

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