Considere um sistema de um grau de liberdade com as seguintes propriedades constantes, a saber:
. Determine
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico
;
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de um grau de liberdade com massa
, constante elástica
e amortecimento
. Nosso objetivo é determinar:
i) O fator de amortecimento do sistema;
ii) A frequência natural e a frequência natural amortecida;
iii) O decremento logarítmico
;
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da dinâmica de sistemas vibratórios, envolvendo conceitos como frequência natural, fator de amortecimento e decremento logarítmico. Vamos passo a passo!
Passo 2
i) Fator de Amortecimento (
)
Primeiro, vamos calcular o fator de amortecimento
. Esse fator nos diz quão amortecido está o sistema, ou seja, se ele oscila bastante ou se retorna rapidamente ao equilíbrio.
A fórmula para
é:
Vamos calcular:
Passo 3
ii) Frequência Natural (
) e Frequência Natural Amortecida (
)
A frequência natural
é a frequência na qual o sistema oscila sem nenhuma amortecimento. Já a frequência amortecida
é a frequência real do sistema quando há amortecimento.
As fórmulas são:
Vamos calcular
:
Agora, calculando
:
Como o fator de amortecimento é muito pequeno, a diferença entre
e
é praticamente irrelevante.
Passo 4
iii) Decremento Logarítmico (
)
O decremento logarítmico
mede a taxa de diminuição das oscilações do sistema. Ele indica quanto a amplitude diminui de um ciclo para o outro.
A fórmula é:
Vamos calcular:
Convertendo para graus, se necessário:
Passo 5
iv) Razão entre Duas Amplitudes Consecutivas
Essa razão nos mostra quanto a amplitude diminui de um ciclo para o outro devido ao amortecimento.
A fórmula é:
Usando o
que calculamos:
Isso significa que a amplitude no próximo ciclo é aproximadamente 92,3% da amplitude anterior.
Resposta
i) O fator de amortecimento do sistema é aproximadamente
.
ii) A frequência natural é
e a frequência natural amortecida é
.
iii) O decremento logarítmico é
(aproximadamente
).
iv) A razão entre duas amplitudes consecutivas é aproximadamente
.