Considere o sistema homogêneo:
onde
sendo as funções
© A partir da equação em b), deduza a fórmula de Abel.
© A partir da equação em b), deduza a fórmula de Abel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema homogêneo de equações diferenciais do tipo:
onde
é um vetor com duas componentes e
é uma matriz 2x2 cujas funções são contínuas no intervalo
. A gente precisa deduzir a fórmula de Abel a partir dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e propriedades das matrizes em sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Abel. Em sistemas lineares de equações diferenciais, a fórmula de Abel relaciona o determinante da matriz solução com o traço da matriz dos coeficientes. No caso de uma matriz 2x2, a fórmula fica:
onde
é o Wronskiano (determinante da matriz solução) e
é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada do Wronskiano
. Sabemos que para uma matriz 2x2, o Wronskiano é dado por:
onde
e
são soluções independentes do sistema. A derivada de
em relação ao tempo é:
Isso vem da propriedade de que a taxa de variação do determinante está ligada ao traço da matriz dos coeficientes.
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver utilizando o método de separação de variáveis. Vamos separar os termos:
Passo 5
Integrando ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Aqui,
é o valor do Wronskiano no ponto inicial
.
Resposta
A fórmula de Abel para o sistema dado é:
Exercícios relacionados
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
(e)
(e)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
(b)
(b)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(b)
(b)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(e)
(e)