Considere o sistema homogêneo:
d/dt x = P(t) x
onde vec{x} = (x1, x2) P(t) = ((p11(t), p12(t)), (p21(t), p22(t))) sendo as funções p_ij(t) in C(a, b)
© A partir da equação em b), deduza a fórmula de Abel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema homogêneo de equações diferenciais do tipo:
onde x é um vetor com duas componentes e é uma matriz 2x2 cujas funções são contínuas no intervalo (a, b). A gente precisa deduzir a fórmula de Abel a partir dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e propriedades das matrizes em sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Abel. Em sistemas lineares de equações diferenciais, a fórmula de Abel relaciona o determinante da matriz solução com o traço da matriz dos coeficientes. No caso de uma matriz 2x2, a fórmula fica:
onde W(t) é o Wronskiano (determinante da matriz solução) e é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada do Wronskiano W(t). Sabemos que para uma matriz 2x2, o Wronskiano é dado por:
onde e são soluções independentes do sistema. A derivada de W(t) em relação ao tempo é:
Isso vem da propriedade de que a taxa de variação do determinante está ligada ao traço da matriz dos coeficientes.

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial para W(t):
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver utilizando o método de separação de variáveis. Vamos separar os termos:

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para resolver para W(t):
Aqui, é o valor do Wronskiano no ponto inicial .

Resposta

A fórmula de Abel para o sistema dado é:

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