Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
(b)
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado pelo método da eliminação. O sistema é:
Vimos que vamos precisar usar o método da eliminação para resolver esse sistema e encontrar as soluções gerais para e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar a eliminação. Reescrevemos o sistema:
çãçã
Passo 3
Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para que o coeficiente de fique igual ao da Equação 1:
çã
Passo 4
Agora, temos:
çãçã
Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 3 para eliminar :
Passo 5
Agora, temos uma nova equação que relaciona e :
çã
Podemos resolver a Equação 4 para :
Passo 6
Agora, vamos utilizar a Equação 2 original para expressar :
Substituindo da Equação 4:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial para :
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar um fator integrante.
Passo 8
O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:
onde é a constante de integração.
Passo 10
Para resolver a integral no lado direito, usamos a integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:
Passo 11
Substituindo de volta na equação:
Passo 12
Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação 4: