Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n A^ρ mero apropriado de constantes arbitrárias:
(b) { 2 dx1/dt + x1 + dx2/dt = t \\ dx1/dt - x1 + dx2/dt = 2 }

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado pelo método da eliminação. O sistema é:
Vimos que vamos precisar usar o método da eliminação para resolver esse sistema e encontrar as soluções gerais para e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações para facilitar a eliminação. Reescrevemos o sistema:
çãçã

Passo 3

Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para que o coeficiente de fique igual ao da Equação 1:
çã

Passo 4

Agora, temos:
çãçã
Podemos subtrair a Equação 1 da Equação 3 para eliminar :

Passo 5

Agora, temos uma nova equação que relaciona e :
çã
Podemos resolver a Equação 4 para :

Passo 6

Agora, vamos utilizar a Equação 2 original para expressar :
Substituindo da Equação 4:

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial para :
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos encontrar um fator integrante.

Passo 8

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 10

Para resolver a integral no lado direito, usamos a integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:

Passo 11

Substituindo de volta na equação:

Passo 12

Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação 4:

Passo 13

Integrando para encontrar :
onde é outra constante de integração.

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
onde e são constantes arbitrárias.

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