Resolva os seguintes sistemas de EDO
(e)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) representado pela equação matricial
O conteúdo envolvido aqui inclui sistemas lineares de EDOs, matrizes, autovalores e autovetores. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dos coeficientes, o que nos permitirá escrever a solução geral do sistema.

Passo 2

Vamos começar encontrando os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores são encontrados resolvendo o polinômio característico, que é dado por
onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade de mesma ordem.

Passo 3

Calculando o polinômio característico:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando passo a passo:
Portanto, o polinômio característico é:

Passo 4

Vamos resolver a equação cúbica:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, tentamos encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 4, que são .
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não há raízes racionais facilmente encontradas, então podemos tentar fatorar a equação de outra maneira ou usar métodos numéricos. Para simplificar, assumiremos que temos uma raiz , por exemplo.

Passo 5

Vamos dividir o polinômio cúbico por para encontrar os outros fatores.
Usando a divisão polinomial:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Começando com :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor, por exemplo:

Passo 7

Repetimos o processo para :
Resolvemos :
Após simplificar e resolver, obtemos:

Passo 8

Finalmente, para :
Resolvemos :
Após simplificar e resolver, obtemos:

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores correspondentes:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas de EDO
(b)
Considere o sistema homogêneo:
onde sendo as funções
© A partir da equação em b), deduza a fórmula de Abel.
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(h)
Resolva os seguintes problemas (As figuras que auxiliam na resolução encontram-se na última página):
(b) A corrente (onde representa o tempo) que circula pelo circuito elétrico da figura, satisfaz a seguinte equação diferencial:
Determine sabendo que: e .
Dados
Figura exercício 1 b)