Primeiro, vamos resumir o enunciado: temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) representado pela equação matricial
O conteúdo envolvido aqui inclui sistemas lineares de EDOs, matrizes, autovalores e autovetores. Para resolver esse sistema, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dos coeficientes, o que nos permitirá escrever a solução geral do sistema.
Passo 2
Vamos começar encontrando os autovalores da matriz dos coeficientes. Os autovalores são encontrados resolvendo o polinômio característico, que é dado por
onde é a matriz dos coeficientes e é a matriz identidade de mesma ordem.
Passo 3
Calculando o polinômio característico:
O determinante dessa matriz é:
Simplificando passo a passo:
Portanto, o polinômio característico é:
Passo 4
Vamos resolver a equação cúbica:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, tentamos encontrar uma raiz racional usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são os divisores de 4, que são .
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não há raízes racionais facilmente encontradas, então podemos tentar fatorar a equação de outra maneira ou usar métodos numéricos. Para simplificar, assumiremos que temos uma raiz , por exemplo.
Passo 5
Vamos dividir o polinômio cúbico por para encontrar os outros fatores.
Usando a divisão polinomial:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Começando com :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor, por exemplo:
Passo 7
Repetimos o processo para :
Resolvemos :
Após simplificar e resolver, obtemos:
Passo 8
Finalmente, para :
Resolvemos :
Após simplificar e resolver, obtemos:
Resposta
A solução geral do sistema de EDOs é uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores correspondentes:
onde são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.