Resolva os seguintes sistemas de EDO
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que precisa resolver. O sistema é:
[
\frac{d}{dt}
]
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz que está no sistema. Esses conceitos ajudam a encontrar soluções que descrevem como as variáveis
e
mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz:
Para achar os autovalores (
), resolvemos a equação característica:
Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para
é:
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para
é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada par
:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.