Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que precisa resolver. O sistema é:
[
\frac{d}{dt}
]
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz que está no sistema. Esses conceitos ajudam a encontrar soluções que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz:
Para achar os autovalores (), resolvemos a equação característica:
Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada par :