Resolva os seguintes sistemas de EDO
(b) d/dt (x1, x2) = [[4, -3], [8, -6]] (x1, x2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que precisa resolver. O sistema é:

[
\frac{d}{dt}



]
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores e autovetores da matriz que está no sistema. Esses conceitos ajudam a encontrar soluções que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz:
Para achar os autovalores ( ), resolvemos a equação característica:
Calculando:
Simplificando:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Das equações resultantes, temos:
Então, um autovetor para é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema de EDOs. A solução é uma combinação linear das soluções associadas a cada par :
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando :

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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