Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n tildeA^varrho mero apropriado de constantes arbitrárias:
(e) lx1^prime prime-4 x1^prime+4 x1+x2^prime prime+2 x2^prime=0 x1^prime prime-2 x1^prime+x2^prime prime+4 x2^prime+4 x2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método da eliminação. O que a gente tem aqui são duas equações que relacionam as derivadas de segunda ordem de e . Nosso objetivo é encontrar as funções e que satisfazem ambas as equações. Para isso, vamos precisar usar o método da eliminação para simplificar o sistema e resolver para uma das funções, e depois encontrar a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações do sistema de forma mais clara:
x1'' - 4x1' + 4x1 + x2'' + 2x2' = 0 (Equação 1) x1'' - 2x1' + x2'' + 4x2' + 4x2 = 0 (Equação 2) çãçã

Passo 3

Vamos usar o método da eliminação para eliminar (x1'' - 4x1' + 4x1 + x2'' + 2x2') - (x1'' - 2x1' + x2'' + 4x2' + 4x2) = 0 - 0 das duas equações. Para isso, subtraímos a Equação 2 da Equação 1:
-2x1' + 4x1 - 2x2' - 4x2 = 0
Simplificando:
-2x1' + 4x1 = 2x2' + 4x2
Podemos reorganizar essa equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar -2x1' = -4x1 + 2x2' + 4x2 :
x1' = 2x1 - x2' - 2x2
Dividindo ambos os lados por -2:

Passo 5

Temos agora uma expressão para x1'' = 2x1' - x2'' - 2x2' em termos de (2x1' - x2'' - 2x2') - 2x1' + x2'' + 4x2' + 4x2 = 0 , 0 + 0 + 2x2' + 4x2 = 0 e 2x2' + 4x2 = 0 . Vamos substituir essa expressão na Equação 2 para encontrar uma relação somente envolvendo .
Substituindo e na Equação 2:
Sabemos que , então derivando ambos os lados:
Substituindo na Equação 2:
Simplificando:
Portanto:

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial simples para 2x2' + 4x2 = 0 :
x2' + 2x2 = 0
Podemos simplificar dividindo por 2:
x2(t) = C e^-2t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

Passo 7

Agora que temos x1' = 2x1 - x2' - 2x2 , vamos voltar à expressão que encontramos para x2' = -2C e^-2t :
x1' = 2x1 - (-2C e^-2t) - 2(C e^-2t) = 2x1 + 2C e^-2t - 2C e^-2t = 2x1
Sabemos que , então:
Substituindo na express��o de :

Passo 8

Agora temos a equação diferencial para x1' = 2x1 :
x1(t) = D e^2t
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
onde é outra constante arbitrária.

Resposta

As soluções gerais do sistema são:
x1(t) = D e^2t
x2(t) = C e^-2t
onde e são constantes arbitrárias.

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