Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n
mero apropriado de constantes arbitrárias:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método da eliminação. O que a gente tem aqui são duas equações que relacionam as derivadas de segunda ordem de
e
. Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que satisfazem ambas as equações. Para isso, vamos precisar usar o método da eliminação para simplificar o sistema e resolver para uma das funções, e depois encontrar a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas equações do sistema de forma mais clara:
Passo 3
Vamos usar o método da eliminação para eliminar
das duas equações. Para isso, subtraímos a Equação 2 da Equação 1:
Simplificando:
Podemos reorganizar essa equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por -2:
Passo 5
Temos agora uma expressão para
em termos de
,
e
. Vamos substituir essa expressão na Equação 2 para encontrar uma relação somente envolvendo
.
Substituindo
e
na Equação 2:
Sabemos que
, então derivando ambos os lados:
Substituindo na Equação 2:
Simplificando:
Portanto:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial simples para
:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.
Passo 7
Agora que temos
, vamos voltar à expressão que encontramos para
:
Sabemos que
, então:
Substituindo na express��o de
:
Passo 8
Agora temos a equação diferencial para
:
Essa é outra equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é:
onde
é outra constante arbitrária.
Resposta
As soluções gerais do sistema são:
onde
e
são constantes arbitrárias.