Considere o sistema indicado na figura ao lado. O bloco A possui massa igual a 6 kg. Suponha que o bloco B desça a rampa com velocidade constante. Existe atrito entre o bloco B e a superfície sendo que o coeficiente de atrito cinético é de muC=0,2. Considere a aceleração da gravidade igual a 10 m / s^2.
a) Determine, nas condições descritas acima, a massa do bloco B. (m=18,36 kg)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois blocos, o bloco A com massa de 6 kg e o bloco B que desce uma rampa com velocidade constante. Sabemos que há atrito entre o bloco B e a superfície, com coeficiente de atrito cinético muC = 0,2, e a aceleração da gravidade é g = 10 , m/s^2. Nosso objetivo é encontrar a massa do bloco B.

Passo 2

Como o bloco B está descendo a rampa com velocidade constante, isso significa que a aceleração dele é zero. Segundo a segunda lei de Newton, a soma das forças que atuam sobre o bloco B deve ser igual a zero.

Passo 3

As forças que atuam no bloco B são:
  1. A força gravitacional, que pode ser decomposta em duas componentes: paralela ( Fparal<=l) e perpendicular ( Fperp) à rampa.
  2. A força de atrito ( Fattrito) que age contra o movimento.

Passo 4

Calculamos a componente paralela da força gravitacional:
Fparal<=l = mB cdot g cdot sin(theta)
Onde mB é a massa do bloco B e theta é o ângulo da rampa.

Passo 5

A força de atrito é dada por:
Fattrito = muC cdot Fperp
E a componente perpendicular da força gravitacional é:
Fperp = mB cdot g cdot cos(theta)

Passo 6

Como a velocidade é constante, temos:
Fparal<=l = Fattrito
Substituindo as expressões:
mB cdot g cdot sin(theta) = muC cdot mB cdot g cdot cos(theta)

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por mB cdot g:
sin(theta) = muC cdot cos(theta)

Passo 8

Dividindo os dois lados por cos(theta):
tan(theta) = muC
theta = arctan(muC)

Passo 9

Calculando o ângulo:
theta = arctan(0,2) approx 11,31^circ

Passo 10

Agora, considerando o bloco A com massa 6 kg, que provavelmente está pendurado ou conectado de alguma forma ao bloco B, precisamos relacionar as forças para encontrar mB. No equilíbrio, a força de atrito e a componente da força gravitacional devem equilibrar a força exercida pelo bloco A.

Passo 11

A força exercida pelo bloco A é:
FA = mA cdot g = 6 , kg cdot 10 , m/s^2 = 60 , N

Passo 12

Igualando as forças:
mB cdot g cdot sin(theta) = FA + muC cdot mB cdot g cdot cos(theta)

Passo 13

Substituindo os valores:
mB cdot 10 cdot sin(11,31^circ) = 60 + 0,2 cdot mB cdot 10 cdot cos(11,31^circ)

Passo 14

Calculando os valores trigonométricos:
sin(11,31^circ) approx 0,196
cos(11,31^circ) approx 0,981

Passo 15

Substituindo novamente:
mB cdot 10 cdot 0,196 = 60 + 0,2 cdot mB cdot 10 cdot 0,981
1,96 mB = 60 + 1,962 mB

Passo 16

Isolando mB:
1,96 mB - 1,962 mB = 60
-0,002 mB = 60
mB = 60-0,002 = -30000 , kg

Passo 17

O resultado negativo não faz sentido fisicamente, o que indica que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar o passo anterior.

Passo 18

Na equação:
mB cdot g cdot sin(theta) = FA + muC cdot mB cdot g cdot cos(theta)
Rearranjando:
mB cdot g cdot (sin(theta) - muC cdot cos(theta)) = FA
mB = FAg cdot (sin(theta) - muC cdot cos(theta))

Passo 19

Substituindo os valores:
mB = 6010 cdot (0,196 - 0,2 cdot 0,981)
mB = 6010 cdot (0,196 - 0,1962)
mB = 6010 cdot (-0,0002)
mB = 60-0,002 = -30000 , kg

Passo 20

Ainda estamos obtendo um valor negativo, o que sugere que a força exercida pelo bloco A não deve ser adicionada, mas sim subtraída. Vamos ajustar a equação:
mB cdot g cdot sin(theta) - muC cdot mB cdot g cdot cos(theta) = FA
mB (g sin(theta) - muC g cos(theta)) = FA
mB = FAg (sin(theta) - muC cos(theta))

Passo 21

Substituindo novamente:
mB = 6010 (0,196 - 0,2 cdot 0,981)
mB = 6010 (0,196 - 0,1962)
mB = 6010 (-0,0002)
mB = 60-0,002 = -30000 , kg

Passo 22

Parece que a abordagem está incorreta. Vamos considerar que a força do bloco A equilibra a força de atrito e a componente da gravidade do bloco B.

Passo 23

A equação correta deve ser:
mA cdot g = muC cdot mB cdot g cdot cos(theta) + mB cdot g cdot sin(theta)
mA = mB (muC cos(theta) + sin(theta))

Passo 24

Isolando mB:
mB = mAmuC cos(theta) + sin(theta)

Passo 25

Substituindo os valores:
mB = 60,2 cdot cos(11,31^circ) + sin(11,31^circ)
mB = 60,2 cdot 0,981 + 0,196
mB = 60,1962 + 0,196
mB = 60,3922 approx 15,31 , kg

Resposta

A massa do bloco B é aproximadamente 15,31 , kg.

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