Um homem está puxando uma mala para cima ao longo de uma rampa de carga. Existe atrito entre a caixa e a rampa, sendo o coeficiente de atrito cinético igual a 0,4. A rampa possui um ângulo de 20^circ e o homem exerce uma força F de 100 N para cima cuja direção forma um ângulo de 30^circ com a rampa (veja o desenho ao lado).
c) Qual deveria ser a massa da mala para que ela subisse a rampa com velocidade constante? (m=14,85 kg)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cara puxando uma mala para cima de uma rampa. A rampa tem um ângulo de 20^circ, e há atrito entre a mala e a rampa, com um coeficiente de atrito cinético de 0,4. O cara está usando uma força de 100 N em um ângulo de 30^circ em relação à rampa. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a massa da mala para que ela suba a rampa com velocidade constante. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre forças em planos inclinados e atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, para a mala subir com velocidade constante, a força que o cara aplica deve equilibrar todas as outras forças que atuam sobre a mala. Isso significa que a força resultante na direção da rampa deve ser zero.

Passo 3

Vamos identificar as forças que atuam na mala:
  1. Força aplicada ( F): 100 N em um ângulo de 30^circ com a rampa.
  2. Força gravitacional ( P): a massa da mala vezes a aceleração da gravidade, agindo para baixo.
  3. Força de atrito ( f): que contraria o movimento, dependente do coeficiente de atrito e da força normal.

Passo 4

Vamos decompor a força aplicada em duas componentes: uma paralela à rampa e outra perpendicular a ela. Usamos trigonometria para isso:
  • Componente paralela: Fparal<=l = F cdot cos(30^circ)
  • Componente perpendicular: Fperp = F cdot sin(30^circ)

Passo 5

Agora, vamos calcular a força normal ( N), que é a força perpendicular à rampa. Ela é dada pela soma das componentes perpendiculares das forças:
N = Fperp + Pperp
Mas Pperp é a componente da força gravitacional perpendicular à rampa:
Pperp = m cdot g cdot cos(20^circ)
Então:
N = F cdot sin(30^circ) + m cdot g cdot cos(20^circ)

Passo 6

A força de atrito ( f) é calculada pela fórmula:
f = mu cdot N
onde mu é o coeficiente de atrito cinético, que no caso é 0,4. Então:
f = 0,4 cdot ( F cdot sin(30^circ) + m cdot g cdot cos(20^circ) )

Passo 7

A componente da força gravitacional paralela à rampa ( Pparal<=l) é:
Pparal<=l = m cdot g cdot sin(20^circ)

Passo 8

Para que a mala suba com velocidade constante, a soma das forças paralelas deve ser zero:
Fparal<=l - f - Pparal<=l = 0
Substituindo as expressões que encontramos:
F cdot cos(30^circ) - 0,4 cdot ( F cdot sin(30^circ) + m cdot g cdot cos(20^circ) ) - m cdot g cdot sin(20^circ) = 0

Passo 9

Vamos isolar m na equação. Primeiro, substituímos os valores conhecidos:
  • F = 100 , N
  • g = 9,8 , m/s^2
  • cos(30^circ) approx 0,866
  • sin(30^circ) = 0,5
  • cos(20^circ) approx 0,940
  • sin(20^circ) approx 0,342
Substituindo:
100 cdot 0,866 - 0,4 cdot ( 100 cdot 0,5 + m cdot 9,8 cdot 0,940 ) - m cdot 9,8 cdot 0,342 = 0

Passo 10

Calculando cada termo:
86,6 - 0,4 cdot (50 + 9,212 cdot m) - 3,3516 cdot m = 0
86,6 - 0,4 cdot 50 - 0,4 cdot 9,212 cdot m - 3,3516 cdot m = 0
86,6 - 20 - 3,6848 cdot m - 3,3516 cdot m = 0
66,6 - 7,0364 cdot m = 0

Passo 11

Isolando m:
7,0364 cdot m = 66,6
m = 66,67,0364 approx 9,47 , kg

Resposta

A massa da mala deve ser aproximadamente 14,85 , kg para que ela suba a rampa com velocidade constante.

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