Considere um sistema isolado no qual ocorre flutuação de temperatura em uma pequena parte desse sistema. Demostre que esta flutuação está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio de acordo com
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onde a capacidade térmica a volume constante definida na re lação
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema isolado onde há uma pequena variação de temperatura em uma parte desse sistema. A tarefa é demonstrar que essa variação de temperatura está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de termodinâmica, como entropia, capacidade térmica a volume constante (
) e como as variações de energia e temperatura se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é entropia. A entropia (
) é uma medida da desordem ou da quantidade de energia dispersa em um sistema. No equilíbrio termodinâmico, a entropia é máxima, e qualquer variação ao redor desse ponto de equilíbrio nos dá informações sobre a estabilidade do sistema.
Passo 3
Agora, consideremos uma pequena variação de temperatura (
) em uma parte do sistema. Como o sistema é isolado, a energia total permanece constante, mas a energia interna (
) dessa parte pode variar. A relação dada na questão é
, onde
é a capacidade térmica a volume constante. Isso nos diz como a energia interna muda em função da variação de temperatura.
Passo 4
Para relacionar a variação de temperatura com a entropia, usamos a expansão de Taylor da entropia em torno do ponto de equilíbrio. A expansão até a segunda ordem é dada por:
No ponto de equilíbrio, a primeira derivada da entropia em relação à energia é zero, pois a entropia está maximizada. Portanto, a variação linear desaparece, e restam apenas os termos de segunda ordem.
Passo 5
Substituindo
na expressão da entropia, obtemos:
Estamos interessados na relação entre
e
, então reorganizamos a expressão:
Passo 6
Para encontrar a relação desejada, precisamos expressar a segunda derivada da entropia em termos de temperatura. Sabemos que:
Diferençando novamente em relação a
, temos:
Mas
, então substituindo:
Passo 7
Substituindo essa expressão na equação de
, temos:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, multiplicando ambos os lados por 2, obtemos a relação desejada:
Rearranjando:
Resposta
Demonstramos que a variação de segunda ordem da entropia está relacionada com a variação de temperatura pela equação: