Considere um sistema isolado no qual ocorre flutuação de temperatura em uma pequena parte desse sistema. Demostre que esta flutuação está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio de acordo com
2^de
1
2 T^2<0
onde a capacidade térmica a volume constante definida na re lação de.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um sistema isolado onde há uma pequena variação de temperatura em uma parte desse sistema. A tarefa é demonstrar que essa variação de temperatura está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de termodinâmica, como entropia, capacidade térmica a volume constante ( CV) e como as variações de energia e temperatura se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é entropia. A entropia ( S) é uma medida da desordem ou da quantidade de energia dispersa em um sistema. No equilíbrio termodinâmico, a entropia é máxima, e qualquer variação ao redor desse ponto de equilíbrio nos dá informações sobre a estabilidade do sistema.

Passo 3

Agora, consideremos uma pequena variação de temperatura ( de) em uma parte do sistema. Como o sistema é isolado, a energia total permanece constante, mas a energia interna ( U) dessa parte pode variar. A relação dada na questão é de, onde CV é a capacidade térmica a volume constante. Isso nos diz como a energia interna muda em função da variação de temperatura.

Passo 4

Para relacionar a variação de temperatura com a entropia, usamos a expansão de Taylor da entropia em torno do ponto de equilíbrio. A expansão até a segunda ordem é dada por:
S = S0 + ( partial Spartial U ) de
No ponto de equilíbrio, a primeira derivada da entropia em relação à energia é zero, pois a entropia está maximizada. Portanto, a variação linear desaparece, e restam apenas os termos de segunda ordem.

Passo 5

Substituindo de na expressão da entropia, obtemos:
de
Estamos interessados na relação entre de e (de, então reorganizamos a expressão:
de

Passo 6

Para encontrar a relação desejada, precisamos expressar a segunda derivada da entropia em termos de temperatura. Sabemos que:
( partial Spartial U )V = 1T
Diferençando novamente em relação a U, temos:
( partial^2 Spartial U^2 )V = -1T^2 ( partial Tpartial U )V
Mas ( partial Tpartial U )V = 1CV, então substituindo:
( partial^2 Spartial U^2 )V = -1T^2 CV

Passo 7

Substituindo essa expressão na equação de de, temos:
de
Simplificando:
de

Passo 8

Finalmente, multiplicando ambos os lados por 2, obtemos a relação desejada:
2 de
Rearranjando:
de

Resposta

Demonstramos que a variação de segunda ordem da entropia está relacionada com a variação de temperatura pela equação:
2 de

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