Mostre que dados dois vetores quaisquer
, o vetor
é perpendicular tanto ao vetor
, quanto ao vetor
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que, dados dois vetores quaisquer
e
, o vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
. Para isso, vamos utilizar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o produto vetorial
resulta em um vetor
que é perpendicular ao plano formado por
e
. Isso significa que
deve ser perpendicular a ambos os vetores originais.
Passo 3
Para provar que
é perpendicular a
, vamos calcular o produto escalar entre eles. Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 4
Calculando o produto escalar:
Sabemos que o produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero, ou seja:
Portanto,
, o que confirma que
é perpendicular a
.
Passo 5
De maneira semelhante, vamos verificar se
é perpendicular a
. Calculamos o produto escalar:
Novamente, o produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é zero:
Logo,
, provando que
é perpendicular a
.
Resposta
Assim, mostramos que o vetor
é perpendicular tanto a
quanto a
.