Mostre que dados dois vetores quaisquer a e b, o vetor c=a times b é perpendicular tanto ao vetor a, quanto ao vetor b.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que, dados dois vetores quaisquer e , o vetor é perpendicular tanto a quanto a . Para isso, vamos utilizar conceitos de produto vetorial e propriedades de vetores perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular ao plano formado por e . Isso significa que deve ser perpendicular a ambos os vetores originais.

Passo 3

Para provar que é perpendicular a , vamos calcular o produto escalar entre eles. Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Calculando o produto escalar:
c cdot a = (a times b) cdot a
Sabemos que o produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é sempre zero, ou seja:
(a times b) cdot a = 0
Portanto, , o que confirma que é perpendicular a .

Passo 5

De maneira semelhante, vamos verificar se c cdot b = (a times b) cdot b é perpendicular a (a times b) cdot b = 0 . Calculamos o produto escalar:
Novamente, o produto escalar de um vetor com o seu produto vetorial com outro vetor é zero:
Logo, , provando que é perpendicular a .

Resposta

Assim, mostramos que o vetor é perpendicular tanto a quanto a .

Exercícios relacionados