Quais as condições sobre a, b, c e d para que esse sistema possua solução? Justifique claramente sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me mandou. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular as equações para descobrir se existe uma solução que satisfaça todas elas ao mesmo tempo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar condições para e que garantam que esse sistema tenha pelo menos uma solução.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 4
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde possamos ver claramente se há uma solução.
Primeiro, vamos usar a 4ª equação para simplificar as outras. A 4ª equação é . Vamos resolver isso para :
Agora, substituímos nas outras equações.
Passo 5
Substituindo na 1ª equação:
Na 2ª equação substituímos :
A 3ª equação permanece:
Passo 6
Agora, temos um sistema menor com as equações (1), (2) e (3):
Vamos simplificar. Da equação (3), sabemos que:
Substituímos na equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
Resposta
Para que o sistema possua solução, os parâmetros devem satisfazer as seguintes condições:
Ou seja, deve ser igual a e deve ser igual a . Essas são as condições necessárias para que o sistema tenha pelo menos uma solução.