Considere o sistema:
l 3 x-6 y+2 z-w=a -2 x+4 y+z+3 w=b z+w=c x-2 y+z=d
Quais as condições sobre a, b, c e d para que esse sistema possua solução? Justifique claramente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me mandou. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular as equações para descobrir se existe uma solução que satisfaça todas elas ao mesmo tempo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações que temos:
3x - 6y + 2z - w = a -2x + 4y + z + 3w = b z + w = c x - 2y + z = d
Nosso objetivo é encontrar condições para e que garantam que esse sistema tenha pelo menos uma solução.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
3 & -6 & 2 & -1 & | & a -2 & 4 & 1 & 3 & | & b 0 & 0 & 1 & 1 & | & c 1 & -2 & 1 & 0 & | & d

Passo 4

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde possamos ver claramente se há uma solução.
Primeiro, vamos usar a 4ª equação para simplificar as outras. A 4ª equação é x = d + 2y - z . Vamos resolver isso para :
Agora, substituímos nas outras equações.

Passo 5

Substituindo 3(d + 2y - z) - 6y + 2z - w = a 3d + 6y - 3z - 6y + 2z - w = a 3d - z - w = a Rightarrow -z - w = a - 3d (1) na 1ª equação:
-2(d + 2y - z) + 4y + z + 3w = b -2d -4y + 2z + 4y + z + 3w = b -2d + 3z + 3w = b Rightarrow 3z + 3w = b + 2d (2)
Na 2ª equação substituímos z + w = c (3) :
A 3ª equação permanece:

Passo 6

Agora, temos um sistema menor com as equações (1), (2) e (3):
-z - w = a - 3d 3z + 3w = b + 2d z + w = c
Vamos simplificar. Da equação (3), sabemos que:
z + w = c Rightarrow w = c - z
Substituímos -z - (c - z) = a - 3d -z - c + z = a - 3d -c = a - 3d Rightarrow a = 3d - c (A) na equação (1):
3z + 3(c - z) = b + 2d 3z + 3c - 3z = b + 2d 3c = b + 2d Rightarrow b = 3c - 2d (B)
Agora, substituímos na equação (2):

Resposta

Para que o sistema possua solução, os parâmetros devem satisfazer as seguintes condições:
boxed a = 3d - c b = 3c - 2d
Ou seja, deve ser igual a e deve ser igual a . Essas são as condições necessárias para que o sistema tenha pelo menos uma solução.

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