Considere o sistema:
Quais as condições sobre a, b, c e d para que esse sistema possua solução? Justifique claramente sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que você me mandou. A matéria que estamos usando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular as equações para descobrir se existe uma solução que satisfaça todas elas ao mesmo tempo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações que temos:
Nosso objetivo é encontrar condições para e que garantam que esse sistema tenha pelo menos uma solução.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:

Passo 4

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde possamos ver claramente se há uma solução.
Primeiro, vamos usar a 4ª equação para simplificar as outras. A 4ª equação é . Vamos resolver isso para :
Agora, substituímos nas outras equações.

Passo 5

Substituindo na 1ª equação:
Na 2ª equação substituímos :
A 3ª equação permanece:

Passo 6

Agora, temos um sistema menor com as equações (1), (2) e (3):
Vamos simplificar. Da equação (3), sabemos que:
Substituímos na equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):

Resposta

Para que o sistema possua solução, os parâmetros devem satisfazer as seguintes condições:
Ou seja, deve ser igual a e deve ser igual a . Essas são as condições necessárias para que o sistema tenha pelo menos uma solução.

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Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz tal que o sistema linear tenha solução única para todo vetor-coluna então é invertível (em particular, é quadrada).
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se e são matrizes quadradas tais que , então , onde , com e , matriz identidade de mesmas dimensões de e .
Se o sistema linear a seguir, é impossível,
então:
a)
b)
c)
d)
e)
(PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraramse da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era
a) 96
b) 98
c) 108
d) 116
e) 128