Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz tal que o sistema linear tenha solução única para todo vetor-coluna então é invertível (em particular, é quadrada).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se é uma matriz tal que o sistema linear tem solução única para todo vetor-coluna , então é invertível (em particular, é quadrada).” Então, estamos falando de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar entender quando uma matriz é invertível e como isso se relaciona com a existência de soluções únicas para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Isso só é possível se for uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e seu determinante.
Passo 3
Agora, vamos ligar isso ao sistema linear . Se para todo vetor existe uma única solução , isso significa que a matriz tem posto completo (rank completo), ou seja, suas colunas são linearmente independentes. Isso implica que é invertível, pois somente matrizes invertíveis têm essa propriedade de ter uma solução única para qualquer .
Passo 4
Além disso, se não fosse quadrada, não poderíamos ter uma matriz inversa como definimos acima. Portanto, a condição de que o sistema tenha solução única para todo força a ser quadrada e invertível.
Resposta
Verdadeiro. Se o sistema tem solução única para todo vetor , então deve ser uma matriz quadrada e invertível.