Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se A é uma matriz tal que o sistema linear A X=B tenha solução única para todo vetor-coluna B então A é invertível (em particular, A é quadrada).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se A é uma matriz tal que o sistema linear A X = B tem solução única para todo vetor-coluna B, então A é invertível (em particular, A é quadrada).” Então, estamos falando de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar entender quando uma matriz é invertível e como isso se relaciona com a existência de soluções únicas para sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz A é invertível se existe outra matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
onde I é a matriz identidade. Isso só é possível se A for uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e seu determinante det(A) neq 0.

Passo 3

Agora, vamos ligar isso ao sistema linear A X = B. Se para todo vetor B existe uma única solução X, isso significa que a matriz A tem posto completo (rank completo), ou seja, suas colunas são linearmente independentes. Isso implica que A é invertível, pois somente matrizes invertíveis têm essa propriedade de ter uma solução única para qualquer B.

Passo 4

Além disso, se A não fosse quadrada, não poderíamos ter uma matriz inversa como definimos acima. Portanto, a condição de que o sistema tenha solução única para todo B força A a ser quadrada e invertível.

Resposta

Verdadeiro. Se o sistema A X = B tem solução única para todo vetor B, então A deve ser uma matriz quadrada e invertível.

Exercícios relacionados