Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
é uma matriz tal que o sistema linear
tenha solução única para todo vetor-coluna
então
é invertível (em particular,
é quadrada).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se
é uma matriz tal que o sistema linear
tem solução única para todo vetor-coluna
, então
é invertível (em particular,
é quadrada).” Então, estamos falando de Álgebra Linear, especificamente sobre sistemas lineares e matrizes invertíveis. Para resolver, vamos precisar entender quando uma matriz é invertível e como isso se relaciona com a existência de soluções únicas para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Isso só é possível se
for uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e seu determinante
.
Passo 3
Agora, vamos ligar isso ao sistema linear
. Se para todo vetor
existe uma única solução
, isso significa que a matriz
tem posto completo (rank completo), ou seja, suas colunas são linearmente independentes. Isso implica que
é invertível, pois somente matrizes invertíveis têm essa propriedade de ter uma solução única para qualquer
.
Passo 4
Além disso, se
não fosse quadrada, não poderíamos ter uma matriz inversa como definimos acima. Portanto, a condição de que o sistema tenha solução única para todo
força
a ser quadrada e invertível.
Resposta
Verdadeiro. Se o sistema
tem solução única para todo vetor
, então
deve ser uma matriz quadrada e invertível.