Se o sistema linear a seguir, é impossível,
c a x+y+z=1 x-2 y+3 z=0 2 x+y-3 z=2
então:
a) a=0
b) a=-14 / 3
c) a=3 / 4
d) a=1
e) a=28

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
a x + y + z = 1 x - 2 y + 3 z = 0 2 x + y - 3 z = 2
A questão pede para encontrarmos o valor de que torna esse sistema impossível. Para resolver isso, vamos precisar entender quando um sistema linear não tem solução, ou seja, é impossível. Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar o sistema e descobrir esse valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
a & 1 & 1 & | & 1 1 & -2 & 3 & | & 0 2 & 1 & -3 & | & 2
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos identificar se há uma contradição (como , que indica que o sistema é impossível).

Passo 3

Vamos começar eliminando a variável Linha2 = Linha2 - (1a) times Linha1 das segunda e terceira equações. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por (a x + y + z) - a(x - 2y + 3z) = 1 - a times 0 a x + y + z - a x + 2a y - 3a z = 1 (y + 2a y) + (z - 3a z) = 1 y(1 + 2a) + z(1 - 3a) = 1 e subtrair a primeira linha da segunda. Fazendo isso:
Para a segunda linha:
No entanto, para simplificar, vamos usar operações mais diretas.
Vamos multiplicar a primeira equação por 1 e subtrair segunda equação para eliminar :
Essa é uma nova equação simplificada.

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2(x - 2y + 3z) - (2x + y - 3z) = 2 times 0 - 2 2x - 4y + 6z - 2x - y + 3z = -2 (-5y) + 9z = -2 da terceira equação. Multiplicamos a segunda equação original por 2 e subtraímos a terceira equação:
(1 + 2a)y + (1 - 3a)z = 1 -5y + 9z = -2
Outra equação simplificada. Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Para que o sistema original seja impossível, essas duas equações devem levar a uma contradição. Vamos resolver esse sistema para ver quando isso acontece.
Primeiro, podemos resolver a segunda equação para -5y + 9z = -2 -5y = -9z - 2 y = 9z + 25 :
(1 + 2a)(9z + 25) + (1 - 3a)z = 1 (1 + 2a)(9z + 2)5 + (1 - 3a)z = 1
Agora, substituímos (1 + 2a)(9z + 2) + 5(1 - 3a)z = 5 9z(1 + 2a) + 2(1 + 2a) + 5z(1 - 3a) = 5 na primeira equação:
9z + 18a z + 2 + 4a + 5z - 15a z = 5
Multiplicando tudo por 5 para eliminar o denominador:
(9z + 5z) + (18a z - 15a z) + (2 + 4a) = 5 14z + 3a z + 2 + 4a = 5
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos isolar os termos com z(14 + 3a) + (2 + 4a) = 5 z(14 + 3a) = 5 - 2 - 4a z(14 + 3a) = 3 - 4a :
14 + 3a = 0 e 3 - 4a neq 0
Para que o sistema seja impossível, precisamos que a equação resulte em uma contradição, ou seja, que não haja valor de 3a = -14 a = -143 que satisfaça a equação. Isso acontece quando o coeficiente de 3 - 4(-143) = 3 + 563 = 9 + 563 = 653 neq 0 é zero, mas o lado direito não é zero:
Resolvendo :
E verificando com :
Isso confirma que, para , o sistema é impossível.

Resposta

A alternativa correta é b) .

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