Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se e são matrizes quadradas tais que , então , onde , com e , matriz identidade de mesmas dimensões de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, dado que duas matrizes quadradas e comutam (ou seja, ), a matriz também comuta com um polinômio de , representado por . Basicamente, queremos saber se . Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa comutar. Quando duas matrizes e comutam, . Isso é importante porque muitas propriedades matemáticas legais surgem quando matrizes comutam.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o polinômio . Isso significa que é uma combinação linear de potências de , começando com que é a matriz identidade .

Passo 4

Sabendo que e comutam, vamos ver o que acontece quando multiplicamos por . Pelo fato de e comutarem, também comutam com qualquer potência de . Ou seja, para qualquer inteiro .

Passo 5

Com isso, vamos multiplicar por :
Aqui, usamos a propriedade de comutatividade para trocar e em cada termo da soma.

Passo 6

Então, concluímos que é igual a , ou seja, comuta com .

Resposta

Verdadeiro. Se e são matrizes quadradas que comutam, então .

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Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz quadrada tal que é singular, então também é singular.
Já sabemos que se é uma matriz e é uma matriz , com , então não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando . (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se é uma matriz tal que o sistema linear tenha solução única para todo vetor-coluna então é invertível (em particular, é quadrada).
Considere o sistema:
Quais as condições sobre a, b, c e d para que esse sistema possua solução? Justifique claramente sua resposta.