Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
e
são matrizes quadradas tais que
, então
, onde
, com
e
, matriz identidade de mesmas dimensões de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, dado que duas matrizes quadradas
e
comutam (ou seja,
), a matriz
também comuta com um polinômio de
, representado por
. Basicamente, queremos saber se
. Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa comutar. Quando duas matrizes
e
comutam,
. Isso é importante porque muitas propriedades matemáticas legais surgem quando matrizes comutam.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o polinômio
. Isso significa que
é uma combinação linear de potências de
, começando com
que é a matriz identidade
.
Passo 4
Sabendo que
e
comutam, vamos ver o que acontece quando multiplicamos
por
. Pelo fato de
e
comutarem, também comutam com qualquer potência de
. Ou seja,
para qualquer inteiro
.
Passo 5
Com isso, vamos multiplicar
por
:
Aqui, usamos a propriedade de comutatividade para trocar
e
em cada termo da soma.
Passo 6
Então, concluímos que
é igual a
, ou seja,
comuta com
.
Resposta
Verdadeiro. Se
e
são matrizes quadradas que comutam, então
.
Exercícios relacionados
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
é uma matriz quadrada tal que
é singular, então
também é singular.
Já sabemos que se
é uma matriz
e
é uma matriz
, com
, então
não é uma matriz invertível. Agora analise as possibilidades quando
. (Lembre-se: você pode usar contra-exemplos quando necessário.)
Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se
é uma matriz tal que o sistema linear
tenha solução única para todo vetor-coluna
então
é invertível (em particular,
é quadrada).
Considere o sistema:
Quais as condições sobre a, b, c e d para que esse sistema possua solução? Justifique claramente sua resposta.