Responda Verdadeiro ou Falso, sempre justificando: Se A e B são matrizes quadradas tais que A B=B A, então A cdot P(B)=P(B) cdot A, onde P(B)=sumk=0^n lambdak B^k, com lambdak in R e B^0=I, matriz identidade de mesmas dimensões de A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se, dado que duas matrizes quadradas e comutam (ou seja, ), a matriz também comuta com um polinômio de , representado por . Basicamente, queremos saber se . Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa comutar. Quando duas matrizes e comutam, . Isso é importante porque muitas propriedades matemáticas legais surgem quando matrizes comutam.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o polinômio . Isso significa que é uma combinação linear de potências de , começando com que é a matriz identidade .

Passo 4

Sabendo que e comutam, vamos ver o que acontece quando multiplicamos por . Pelo fato de e comutarem, também comutam com qualquer potência de . Ou seja, para qualquer inteiro .

Passo 5

Com isso, vamos multiplicar A cdot P(B) = A cdot ( sumk=0^n lambdak B^k ) = sumk=0^n lambdak A B^k = sumk=0^n lambdak B^k A = P(B) cdot A por :
Aqui, usamos a propriedade de comutatividade para trocar e em cada termo da soma.

Passo 6

Então, concluímos que é igual a , ou seja, comuta com .

Resposta

Verdadeiro. Se e são matrizes quadradas que comutam, então .

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