Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
a) e ;
b)
c) ;
d)
e) ;
f) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação, dado que e . Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e utilizar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Como e , a transformação da segunda derivada fica:
Além disso, sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Para isso, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de e na decomposição de frações parciais:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace: