Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.)
a) x'' + 4x = sen(t), x(0) = 0 e dot(x)(0) = 0;
b) dot(x) + 4 x = cos(t), x(0) = 0
c) dot(x) - 3 x = t + e^(t), x(0) = 0;
d) \ddot{x} + 2 \dot{x} + x = t + e^{t}, x(0) = \dot{x}(0) = 0
e) x'' + 4x = cos(2t), x(0) = x'(0) = 0;
f) d^2x/dt^2 + 4x = e^t sen(t), x(0) = 0, dx(0)/dt = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação, dado que x(t) e . Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e utilizar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Como e , a transformação da segunda derivada fica:
Além disso, sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Para encontrar x(t), precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Para isso, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos os valores de A e B na decomposição de frações parciais:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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