Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
a)
e
;
b)
c)
;
d)
e)
;
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação, dado que
e
. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e utilizar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Como
e
, a transformação da segunda derivada fica:
Além disso, sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de
. Para isso, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação,
.
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos os valores de
e
na decomposição de frações parciais:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Resposta
A solução da equação diferencial é: