Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
a) e ;
b)
c) ;
d)
e) ;
f) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando a Transformada de Laplace. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação, dado que e . Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e utilizar as propriedades das transformadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Como e , a transformação da segunda derivada fica:
Além disso, sabemos que:
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação original:

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace de . Para isso, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para o termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação, .
Substituindo na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos os valores de e na decomposição de frações parciais:
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Seja F uma transformação linear que tem a matriz da transformação dada por
Sabendo que um dos autovalores dessa matriz é 1 responda:
a) (1,0 ponto) Determine os autovalores desta transformação
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)
Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução que satisfaça a condição inicial ;
c) Calcule , onde é a solução do ítem b.