Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b) , se e , se .
c)
d) ;
e)
f)
g)
h) ;
i)
j) ;
k) ;
l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função . A matéria que estamos usando aqui é as Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar saber a fórmula básica da transformada de Laplace e como aplicá-la em funções simples como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência . A fórmula geral da transformada de Laplace é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa função . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração por partes. Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:

Passo 5

Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 7

Agora, resolvendo a última integral:

Passo 8

Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a :

Passo 10

Vamos analisar os limites:
  • Quando , , então a expressão todo vai para 0.
  • Quando :

Passo 11

Subtraindo os limites:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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O par de funções e , é uma solução do sistema para todo .
Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta .
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais e