Determine a transformada de Laplace das funções abaixo:
a)
b)
, se
e
, se
.
c)
d)
;
e)
f)
g)
h)
;
i)
j)
;
k)
;
l)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função
. A matéria que estamos usando aqui é as Transformadas de Laplace, que são ferramentas muito úteis para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar saber a fórmula básica da transformada de Laplace e como aplicá-la em funções simples como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, ela transforma uma função no domínio do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula geral da transformada de Laplace é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa função
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração por partes. Lembre-se que integração por partes é baseada na fórmula:
Passo 5
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 7
Agora, resolvendo a última integral:
Passo 8
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, precisamos avaliar essa expressão de 0 a
:
Passo 10
Vamos analisar os limites:
- Quando
, , então a expressão todo vai para 0. - Quando
:
Passo 11
Subtraindo os limites:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Suponha que,
horas após a injeção de
de adrenalina, a resposta seja
unidades, e
onde
é uma constante positiva. Que valores de
e
causarão a resposta máxima?
O par de funções
e
, é uma solução do sistema
para todo
.
Considere o sistema
a) Prove que se for uma solução, então será, também, solução da equação
a) Prove que se
Conclua que a trajetória desta solução está contida na reta
.
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja um real dado, desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
d) Seja um real dado. Desenhe a trajetória da solução que satisfaz as condições iniciais
e
b) Determine a solução geral do sistema.
c) Seja
d) Seja