Considere o sistema linear:
(S) l 2 x+4 y-6 z=a x-y+4 z=b 6 y-14 z=c
Seja W o conjunto solução do sistema., isto é, W=(x, y, z) in R^3 ;(x, y, z) resolve (S).
b) Nas condições obtidas no item a) encontre uma base para W.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares:
2x + 4y - 6z = a x - y + 4z = b 6y - 14z = c
O conjunto solução desse sistema é chamado de , ou seja, resolve . No item b), precisamos encontrar uma base para nas condições obtidas no item a). Mesmo não tendo o item a), vamos supor que o sistema tem soluções e vamos encontrar a base para o conjunto solução .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema passo a passo para expressar as variáveis em termos de parâmetros livres. Vamos usar o método de substituição ou eliminação.
A terceira equação é:
6y - 14z = c
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
3y - 7z = c2
Vamos isolar 3y = c2 + 7z y = c6 + 73z :
x - y + 4z = b x - (c6 + 73z) + 4z = b x - c6 - 73z + 4z = b
Agora que temos x - c6 + (-73 + 4)z = b x - c6 + 53z = b em função de x = b + c6 - 53z , vamos substituir esse valor na segunda equação:
z = t
Vamos combinar os termos com y = c6 + 73t x = b + c6 - 53t :
Isolando :
Agora, temos e em função de . Vamos parametrizar como um parâmetro livre, digamos :
Então:

Passo 3

Agora vamos expressar o vetor solução (x, y, z) = ( b + c6 - 53t, c6 + 73t, t ) em termos do parâmetro (x, y, z) = ( b + c6, c6, 0 ) + t ( -53, 73, 1 ) :
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que é um espaço vetorial que pode ser descrito como um ponto fixo mais uma combinação linear do vetor .

Resposta

A base para o conjunto solução Base de W = ( -53, 73, 1 ) é o vetor . Portanto,

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